リー代数 キリング形式のトレース計算について

質問

リー代数gの二つの元X,Yに対して、行列ad(X)とad(Y)の積ad(X)ad(Y)のトレースである複素数を対応させ、リー代数のキリング形式をB(X,Y)=Tr(ad(X)ad(Y))と定義しています。ここでo(m,c):m次直交リー代数のキリング形式を考えて、B(X,X)とB(X,Y)を求めたいのです。B(X,X)=(m-2)Tr(Xの二乗)という結果は分かっているのですが、(ad(X)の二乗)z=(Xの二乗)Z-2XZX+Z(Xの二乗)のトレースの計算での導き出し方が分かりません。よろしければ教えてくれませんか？できれば、sp(m,c);m次斜交リー代数の方も教えていただけるとうれしいです。

回答No.3

grothendieck

ad(X)はgl(m,C)からgl(m,C)への1次写像です。gl(m,C)の基底としてEij をとる事ができ、
　tr(Elm・Eij) = δljδmi
なのでZ1, Z2∈gl(m,C)の内積はtr(Z1Z2†)、Eijに双対な基底はEji、1次写像Ａの跡は
　Tr(A) = tr(ΣEji・A(Eij))
で定義されます。

お礼

grothendieckさん、教えていただきありがとうございます。参考になりました。

回答No.2

grothendieck

島和久「連続群とその表現(岩波書店）」p.140-141に書かれています。ただ、p.140
「　X^2・Eij = Σ(X^2)liElj
よりZ∈gl(n,C)の1次変換
　f：Z→X^2・Z
の跡は n Tr(X^2)」
というのは私には分かりにくかったのでもう少し詳しく書いておきます。Eijを基底としたときのｆの成分(f)(ab)(ij)はΣ(X^2)liEljの中のEabの係数なので、
　(f)(ab)(ij) = (X^2)aiδbj
よって
　Tr(f) = Σ(X^2)iiδjj = n Tr(X^2)

回答No.1

grothendieck

>B(X,X)=(m-2)Tr(Xの二乗)という結果は分かっている
とは、これはもう証明できたということですか。それともこれが証明したいことですか。

補足

(ad(X)の二乗)z=(Xの二乗)Z-2XZX+Z(Xの二乗)のトレースの計算を実際に行うことによって、B(X,X)=(m-2)Tr(Xの二乗)という結果を証明したいと言うことです。分かりづらくてすいません。よろしければよろしくお願いします。