ベクトルの定義について教えてください

質問

最近ベクトルの定義を見直しているのですが、「座標回転に際して座標変数と同じように変換される三つの量」や「直交座標の座標軸間の角度を直角に保ったまま、原点を変えないで方向だけを変える変換（直交変換）の規則に従って変換される量」という定義がよくわかりません。R^3に限って考えて、具体的にどうわからないのかというと

１．座標回転に際してR^3の要素（まだベクトルかわからない）の変換をどう施すか。または、ベクトルの定義以前に座標回転に対するR^3の要素の変換を定める必要があるのではないか。

２.R^3の要素でありながらベクトルとは認められないもがあるのか。あるとしたらどう示すか。

　自分の誤解かもしれませんが、R^3の要素がベクトルかどうかを判断するには、R^3の座標回転による変換とR^3に回転行列の要素をそれぞれかけて足し合わせたものが一致するかを確かめるとすると、R^3が座標回転に際してどう変換されるかを定める必要があると思うのです。どなたかご教授お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>座標回転に際してR^3の要素（まだベクトルかわからない）の変換をどう施すか。
それは考えているR^3の要素によります。
※通常の文脈では、物理ではベクトルでないR^3の要素は登場しませんので、ベクトルでないR^3の要素の変換則は基本的には考える必要がありません。

>ベクトルの定義以前に座標回転に対するR^3の要素の変換を定める必要があるのではないか。
考えているR^3の要素がベクトルかどうかを知りたい時には必要になるでしょうが、「ベクトル」という概念を定義する上では必要ありませんよね。(必要があると思うのならその理由を)

>２.R^3の要素でありながらベクトルとは認められないもがあるのか。あるとしたらどう示すか。
そもそも、R^3の要素というのは数学的には単なる３つの実数の組ですよね。物理においては、ベクトルでないのであればわざわざ３つの実数を組にして考える意味がありません。物理的に意味がないという意味では仰るようなものは存在しません。
物理的な意味がなくてもいいから存在するのかといいう事であれば、いくらでも存在します。(３つの実数を適当に組にすれば大抵のものはベクトルではありません)

例)
・(1,0,0)　← 座標変換しても(1,0,0)のままの量。
・φをスカラーとした時、(φ,φ,φ)
・A=(Ax,Ay,Az)をベクトルとした時、(Ay,Ax,Az),(Ax,0,0),(Ax^2,Ay^2,Az^2)など

補足

早速のご回答ありがとうございます。いただいた回答に対する質問があります。
＞A=(Ax,Ay,Az)をベクトルとした時、(Ay,Ax,Az),(Ax,0,0),(Ax^2,Ay^2,Az^2)など
とありあますが、この理由はどうしてですか？おそらくここが分かると疑問ははれると思うのですが。

回答No.12

eatern27

まだkfnorisuさんがご覧になっているか分かりませんが、moumougooさんが現れないようなので。

>「座標変換に伴う変換を行っても実態が変わらないベクトル空間R^3の要素」
まぁ、大雑把にはそう思ってもいいでしょうね。

ただ、実体が変わらないのは当たり前といえば当たり前のことです。

「ベクトルの実体」のイメージは基本的には「矢印」のようなイメージでいいんです。しかし、そういう「矢印」のままでは、具体的な計算が困難です。
そこで、我々は便宜的に「座標軸」を設定して、「矢印」を成分で表示しているんです。

そして座標変換では、ある座標軸で記述した時の話から別の座標軸で記述した時の話に移る事を考えているんです。従って、
>「座標変換に伴う変換を行っても実態が変わらないベクトル空間R^3の要素」
というのはそういう意味では当然なんです。「同じ矢印(実体)」の成分が別の座標軸を設定した時にどうなるかを考えているのですから。大事なのは、設定した「座標軸」とは無関係に定義できる(「矢印」のような実体がある)という事だと思います。で、そういう実体があるという事の数学的な表現が、「座標変換の変換則が～」というやつなのでしょう。
※「実体」としてどういう量があるのかを考えると、スカラー、ベクトル、テンソルという概念が出てくるんですね。相対論ではスピノルも出てきます。

擬ベクトルの場合、右手系と左手系を変える変換で「矢印」の向きが逆になります(成分が変わりません)。だからと言って、「擬ベクトルには実体がない」と考えるのではなく、「擬ベクトルの実体は矢印ではない」と考えるべきだと(私は)思います。

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。自分の解釈が足りないだけかもしれませんが、言葉での説明は難しいですね。長い間お付き合いいただき、どうもありがとうございました。今後何かありましたら、またよろしくお願いします。

回答No.11

moumougoo

＃９です。

質問の２は解決したようなので、
質問１「　１、ベクトルを定義するための座標変換に、右手系と左手系の変換を伴ってよいのか。」についてです。
逆です。右手系と左手系の変換であろうがなんであろうが、実体としての「ベクトル」があると考えると、系の間の変換がきまれば、「ベクトル」の変換も決まるということです。
「あなたのｘ軸が私のｙ軸だとすると、あなたがｘ軸の方向を向いているといっている例えば電場が私の座標系ではｙ軸を向いている必要があります。」という例を挙げましたが、ひょっとしたら、あなたの右が私の左というような対応付けをする人だっているかもしれません。それでも！表していること（＝「ベクトル」）は同じならば、それは（＝「ベクトル」）その変換を用いて対応付けられる、ということです。
ところが、疑ベクトルだったりすると、あなたの右が私の左だったりすると、上と下は同じはずなのに疑ベクトルの向きは上下逆になってしまったりするわけです。疑ベクトルは私の表記でのベクトルなのですが「ベクトル」という意味で「疑ベクトル」なわけです。このようなことは、メタマテリアルなどの議論では結構あるようで、物理法則の符号が系で勝手に変わってしまうわけはないので、人間としては、ちょろっと符号を変えたりして心の平安を保つわけです:-)

※数学としては、
・・・表していること（＝「ベクトル」）は同じ・・・、というような余計なことはいちいち言わず、むしろ、座標と同じ変換をするものをベクトルと呼ぶと定義することで、すっきり＆普遍性を持たせて見通しが良くなるようにしているのだと思います。でも、目的から抽象的性質を導いた方が分かりやすいし、後々役にたつと思います（思っています）。

補足

おかげさまでかなり疑問が晴れてきました。ただ、誤解でないことを確認したいので、もう少しだけお付き合いください。回答内容から察するにベクトルとは、
「座標変換に伴う変換を行っても実態が変わらないベクトル空間R^3の要素」
と言い換えても良いということでしょうか？moumougoo様の主張は最初からこれであり、言い換えではないかもしれませんが。
　あと問答の中で気付いたことがあります。自分が引っ掛かっていたのは、外積のような写像の扱いだったようです。（たぶん）最後に、No.8で挙げられている例で以て確認させてください。
ベクトルuとvに対して、f(u,v)=u×vとする。ベクトル空間R^3の要素でA=f(u,v),B=f(u,v)なるものがあるとする。系を変える変換に伴ってu,vがu'v'にそれぞれ変換されるとして,AがA'=-f(u',v')に変換されるならば、実体が変わらないのでAはベクトルである。これに対し、同様の変換でB'=f(u',v')に変換された場合、Bはベクトルではない。
ということで大体よろしいでしょうか？どうも自分の参考書が示したかったことは、「ベクトルuからベクトル空間R^3ｖへの写像fがあるとする。座標変換に対してuのみ形を変え、fは形を変えずにvと同じ実体を示すことができるか。」のようです。
　１１もの回答をいただき、本当にありがたく思っております。それでもこの補足内容から、まだ理解が足りないと思われるようでしたら、本当に申し訳ございません。

回答No.10

eatern27

ん～、ベクトルでない量に関してこんな突っ込んで考える意味はあるのかな、と思いつつ。。。

そうだな。こう書けばいいのかな。

ベクトルAに対して、ベクトルAの1,2番目の成分を入れ替えて得られる量Yを定義します。(座標変換等でベクトルAの成分が変わればそれと一緒に成分が変わる量を考えている)
つまり、与えられた座標系でのYの成分は、
その座標系でのAの成分を計算する→1,2番目の成分を入れ替える
という手順で計算しなさい、という事を定義したんです。

すると、座標変換前の座標系でAの成分が(Ax,Ay,Az)であればYの成分は(Ay,Ax,Az)に、座標変換後の座標系でAの成分が(Ax',Ay',Az')であればYの成分は(Ay',Ax',Az')になりますよね。Yをそう定義したのだから。

座標変換によりYの成分は(Ay,Ax,Az)から(Ay',Ax',Az')に変わった事になりますが、この変換則はベクトルの定義とは異なる変換則なので、Yはベクトルではないわけです。

もちろん、座標変換前の座標系で成分が(Ay,Ax,Az)に一致するような「ベクトル」を定義する事もできます。(もちろん、座標変換後の座標系は(Ay',Ax',Az')ではありません)
しかし、今はそういう量は考えていません。

お礼

はっきりさせたかったのはここです。ありがとうございます。自分の書き方が良くなかったのだとおもうのですがY=(Ay,Ax,Az)が単にX=(Ax,Ay,Az)と同じ変数で記述されているだけなのか、それとも第一成分と第二成分を入れ替える写像fで定義されたf(X)に該当するものなのかで、座標変換に対して生じる変換の扱いが異なってくると思います。一般的に写像を用いた解釈が行われるのでしたら、自分はそれを理解していませんでした。長きにわたりありがとうございました。

回答No.9

moumougoo

では再トライ

「１．座標回転に際してR^3の要素（まだベクトルかわからない）の変換をどう施すか。
または、ベクトルの定義以前に座標回転に対するR^3の要素の変換を定める必要があるのではないか。」について
おっしゃっているとおりですが、R^3はベクトル空間であることを前提にしていると思います。
a,b∈R, x,y∈R^3に対してax+by∈R^3は、最初に設定されることだと思います。

でここでいっているベクトル空間のベクトルというのは、単にだれかが便宜上決めた、座標系で表されているにすぎません。
それが、意味がある「ベクトル」（＝kfnorisuさんが定義したいと思っているベクトル）であるためには
どんな座標系で書かれていても、同じ「ベクトル」を意味している必要があります。

どんな座標系で書かれていても同じ「ベクトル」であるためには、
たとえば、あなたのｘ軸が私のｙ軸だとすると、あなたがｘ軸の方向を向いているといっている例えば電場が
私の座標系ではｙ軸を向いている必要があります。これをもう少し一般に考えればいいわけです。
（電場が例として適切かどうかという気もしますが許してください）

それをさらに一般化するために、線型写像を考えます。
座標系の取り方は、ベクトル空間同士の写像で対応付けられ、これが線型写像です。回転変換でも回転変換に限らなくてもよいです。
上記の例のように座標軸の取り方、尺度を変えたときに、座標と同じ変換をうければ同じ「ベクトル」をさしているので、
この線型写像に対して、座標と同じ変換を受けるものを「ベクトル」といいましょう、といっているのだと思います。
座標回転どうのこうのと考えてもいいかと思いますが、なぜ、「ベクトル」はベクトルの「a,b∈R, x,y∈R^3に対してax+by∈R^3」という定義では不足なのかを考えた方が理解が進むのではないかと思います。

補足

主張を確認させてください。ベクトルの満たすべき条件とは

１、ベクトル空間R^3の要素Ｘからベクトル空間R^3の要素Ｙへの線形写像が存在する
２、ＸとＹが同じR^3の要素とみなすために、基底の変換が求まる
３、２で求まった基底の変換にともない、座標変数間での変換Ａが求まる
４、Xに変換Ａを施し、YとなればＸはベクトルである。

という主張でよろしかったでしょうか。誤解でしたらごめんなさい。
　定義はのみ込めてきたと思います。しかしmoumougooさんに聞きたいことが２つあります。

　１、ベクトルを定義するための座標変換に、右手系と左手系の変換を伴ってよいのか。
　２、（eatern27様との問答での疑問）No.7の補足に書きました解釈Ａ
「座標変換でA=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')に変換されるとする。以後同様の座標変換に対してAx,Ay,AzはAx',Ay',Az'にそれぞれ、座標変換によって変換されるとみなす」
は正しいか

１の疑問に関しては、外積の結果などの軸性ベクトルをベクトルとしてみなすかどうかの重要な問題なので、是非とも回答を頂きたいです。No.8の補足と重複してしまいましたが、お許しください。
２の疑問が、実は自分の現在の主な疑問です。座標変換を先に定義するとして、座標変換に伴い勝手な変換を受けるR^3の要素はベクトルではないことはわかりました。しかし、解釈Ａの場合は、「すでにベクトルが分かっていて、その成分を今後どう処理するか」という問題です。これは自分の質問２番の延長にある問題です。よろしかったらお答え願います。詳しくはNo.7の問答をご覧ください。

回答No.8

moumougoo

定義の順序が逆かもしれませんが、
ベクトル空間R^3からベクトル空間R^3への同型写像は線型写像で、
ある基底を決めれば座標の変換ルールはすべて決まります。
この座標変換と同じ変換を受けるものをベクトルといいます。
座標はベクトルとしての座標と同じ変換を受けるのでベクトルです。
質問者の方が例としてあげている回転についても
回転はR^3をR^3に移して座標をベクトルとしてみたときの性質を保ちますから
上記のとおり、線型写像を定義することができます。
そして、座標と同じように回転の変換を受けるものをベクトルといいます。

ベクトルっぽくて、ベクトルでないものは例えば、軸性ベクトルがあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB
u=(x1, y1, z1)
v=(x2, y2, z2)
として、ぞれぞれベクトルとします。
u×v=(y1*z2-z1*y2, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2)
はどのように変換するでしょうか？
簡単のため
u=(1, 0, 0)
v=(0, 1, 0)
としてみましょう。
u×v=(0, 0, 1)
いま、xとyを入れ替えると(0, 0, 1)というベクトルはそのままですが
u'=(0, 1, 0)
v'=(1, 0, 0)
u'×v'=(0, 0, -1)
となります。つまり、変換とは違う符合の方に変換されました。
なので、この演算で与えられるものはベクトルではありません。

大体こんな感じなのですがどうでしょうか？

つまり、
座標とかそういうものは人間が都合で決めるのですが、ベクトル空間という性質は普遍であり、
その性質を保つ変換を考えましょう。それをベースにベクトルというものを定義したい
という考え方なのではないでしょうか？

補足

せっかく回答を頂いたのですが、おっしゃっていることがよくわかりませんでした。申し訳ありません。特に理解ができなかったことは、例に関する次の二点です。

１、軸性ベクトルの説明に「ベクトル」が用いられている
２、座標変換を用いた意味におけるベクトルとベクトルの外積は、自分の参考書でベクトルと証明されている。

１に関しては「ベクトル」が一体どういう定義における「ベクトル」なのかを吟味する必要があるかもしれません。ただ、参考ＵＲＬでは読み取れませんでした。
２に関しては、証明方法が理解できないこともあってここで質問をしています。ただ、自分の参考書が考慮している座標変換は、右手系と左手系の変換を含んでいません。一般的かどうかは別として（もちろん一般的なものを理解できたほうがよいですが）、参考書は座標回転に対してベクトルを定義しようとしています。一般的に右手左手系の変換をベクトルの定義に用いる座標変換に含めれば、外積の結果がベクトルではないとされるということでしょうか？

自分の解釈力不足とは思うのですが、判明していると思われる事象と反するように思われる例が出てきているために混乱しております。せっかく回答していただいたのに、申し訳ありません。ちなみに参考書は並木美喜雄氏のベクトル解析です。

回答No.7

eatern27

>とおっしゃっているので、「Y=(Ay,Ax,Az)は座標変換でY’=(Ay',Ax',Az')とされる。」というのは間違いのように思えます。

この前に引用した部分から、間違いと思う理由がよく分からないので、そう思う理由をお願いします。
※ただ、座標変換でそう変換されると定義しただけなので、理由を書かれても「そう定義しただけ」としか言いようがない気が。。。

>(f(X),g(X),h(X))という三つの量の組は一意的に変換されるのでしょうか。
(f(X),g(X),h(X))がベクトル場である事が分かっているのであれば、どの座標系へ変換するのかさえ決まっていれば、変換後の各成分は決まります。
ベクトル場でないのであれば、変換後の各成分は分かりません。

#5の補足の最後の部分に関してですが、仰る通りの誤植です。失礼しました。

お礼

申し訳ありません。補足の訂正です。
７行目
＞「A=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')ならば、Y=(Ay,Ax,Az)ではない。」
は正しくは
「A=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')ならば、Y=(Ay,Ax,Az)はベクトルではない。」

補足

言葉足らずでした。
＞座標変換ではなく、単なる変換
という部分を、「座標変換によって生じる変換ではない。」と解釈したためにおかしくなったようなのですが、いまだに疑問が晴れません。
＞※ただ、座標変換でそう変換されると定義しただけなので、理由を書かれても「そう定義しただけ」としか言いようがない気が。。。
ここが引っ掛かっております。手ごたえとしては、もうほとんどそこまで来ているという感じなのですが。自分が疑問に思っていること、以前の問答と重複するかもしれませんが、もう一度整理させてください。
「A=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')ならば、Y=(Ay,Ax,Az)ではない。」という例を以前頂きました。その理由が、「座標変換によってYに生じる変換がY'=(Ay',Ax',Az')であり、座標変数の変換を表現する行列Dに対してY'=DYを満たさないため」というものと今自分は解釈しています。そしてY→Y'の変換は、YはY'に変換するという明示なしに使用されています。このため自分は
「A=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')」
という部分が、暗にY→Y'の変換を示していると考えました。すなわち、

解釈A「座標変換でA=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')に変換されるとする。以後同様の座標変換に対してAx,Ay,AzはAx',Ay',Az'にそれぞれ、座標変換によって変換されるとみなす」

と考えたのです。もし解釈Aが否定されると
「A=(Ax,Ay,Az)がベクトルで座標変換によりA'=(Ax',Ay',Az')ならば、Y=(Ay,Ax,Az)ではない。」
というのは、「ただしYは座標変換でY'=(Ay',Ax',Az')に変換されるとする」という条件がいると思ったからです。でなければ、Yが座標変換でどう変換されるかが分からないからです。
＞＞とおっしゃっているので、「Y=(Ay,Ax,Az)は座標変換でY’=(Ay',Ax',Az')とされる。」というのは間違いのように思えます。
と判断しましたのは、No.5の回答で解釈Aが否定されたように感じられたからです。

回答No.6

shiara

No.3です。
>A'i＝∂x'i/∂xj・Aj
というのは、縮約規約を使用されいていますか？
→使用していますので、jで和をとっています。

>ご指摘いただいたのは、自分が座標回転を考えているのに対し、一般的な座標変換に対するベクトルの定義でよろしいでしょうか？
→そのとおりです。当然、回転の座標変換にも対応するものです。

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.5

eatern27

>>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>のような変換を座標変換と呼んでいいのか
あぁ、気付いてませんでしたが、座標変換ではなく、単なる変換と言った方がいいですねm(_ _)m

#4への補足で、場(位置座標を変数とする関数)が登場していますが、#2までの話にこのような場は出していませんし、ベクトルの概念を知る上でも持ち出す必要はないと思います。
速度ベクトルなどのように、場ではない普通のベクトルを考えた方が分かりやすいと思いますよ。

とは言え、場を考える時に混乱しているようなので、場の話をしましょう。
結論から言えば、#4への補足にある解釈は間違っています。具体的には
>座標変換　= 「ある三つの数の組にx,y,zが含まれているならば、x',y',z'と単純に置き換える」
この部分です。

あるベクトル場Fがあるとします。
空間上に点Pをとります。点Pの座標が(x,y,z)であるとしましょう。
F=(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))^t
のようになっていたとします。いちいち(x,y,z)と書くのは面倒なので、X=(x,y,z)^tとして
F=(f(X), g(X), h(X))^t
と書くことにします。

で、別の座標系へ座標変換する事を考えます。先ほどの点Pの座標が(u,v,w)になったとします。座標軸の回転しか考えなければ(考えていないので)、U=(u,v,w)^tとすると、適当な行列Dを用いてU=DXと書けます。
場というのは、位置座標を変数とする関数です。座標変換により使う一座標をxyzからuvwに変えたのですから、先ほどまでxyzの関数として書いていたものをuvwの関数として書き換えなければいけません。

X=D^(-1) Uですので、
F=(f(X), g(X), h(X))^t　←xyzの関数
=(f(D^(-1) U), g(D^(-1) U), h(D^(-1) U))^t ←uvwの関数
が成り立ち、uvwの関数に書き換える事ができました。
※#4への補足ではXをそのままUに置き換えてF=(f(U),g(U),h(U))とすると解釈されていましたが、そうではなく上記のようにする。

めでたくuvwの関数として書けたのだから、これで終わりかと言うとそうではありません。なぜなら、
f(X)=f(DU)はベクトル場Fのｘ方向の成分、
g(X)=g(DU)はベクトル場Fのｙ方向の成分、
h(X)=h(DU)はベクトル場Fのｚ方向の成分
だからです。xyz軸の変わりに、uvw軸を使う事にしたのだから、当然、u,v,w方向の成分を使って表示しなければいけません。

u,v,w方向の成分が
F'=(f'(U), g'(U), h'(U))^t
であるとしましょう。
※F=(f(X),g(X),h(X))は座標変換の結果、F'=(f'(U),g'(U),h'(U))に変換されます。

このときに、F'=DFなる関係があれば「ベクトル場」と呼ばれます。

補足

おかげ様で大体定義を理解できてきました。No.4の回答で座標変数を用いて解釈を記述したために、若干論旨がずれてしまい申しわけありません。頂いた回答に対して、疑問が一点あります。疑問は
「No2の回答で提示されている三つの数の組の例がベクトルでないならば、座標変換によってどう変換されるのか」
です。いままでの自分の解釈では

>つまり、
>(Ax,Ay,Az)を座標変換して(Ax',Ay',Az')になったとすれば、
>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>のように座標変換するという事を想定しています。

から、
「Y=(Ay,Ax,Az)は座標変換でY’=(Ay',Ax',Az')とされる（単なる置き替え）。D(Ax,Ay,Az)^t = (Ax',Ay',Az')^tを満たす行列Ｄに対してDY=Y’が成立しないのでYはベクトルではない。」

としていました。ところが、

>座標変換ではなく、単なる変換と言った方がいいですね

>結論から言えば、#4への補足にある解釈は間違っています。具体的には
>>座標変換　= 「ある三つの数の組にx,y,zが含まれているならば、x',y',z'と単純に置き換>える」
>この部分です。

とおっしゃっているので、「Y=(Ay,Ax,Az)は座標変換でY’=(Ay',Ax',Az')とされる。」というのは間違いのように思えます。とすると、座標変換でYはどう変換されるのでしょうか？No5の回答の中盤で解説を頂いているのは、「座標変数と同様の変換」の方法のように思えます。そして今までの問答から、三つの量の組みがベクトルであるかどうかは、三つの量の組が座標変換に対してどう変換されるかを調べる必要があるということが分かっています。今回のようにX=(Ax,Ay,Az)がベクトルであることが分かっていて、かつ考慮している座標変換でX’=(Ax',Ay',Az')という仮定がある場合に、(f(X),g(X),h(X))という三つの量の組は一意的に変換されるのでしょうか。もしされるならば何に変換され、されないならば定義する必要があるのかということが分かりません。
No1.の補足の繰り返しのようになってしまいました。ここさえわかれば解決なんですが・・・。
あと一つ確認させてください。上げ足とりのようで、申し訳ないのですが
>f(X)=f(DU)はベクトル場Fのｘ方向の成分、
>g(X)=g(DU)はベクトル場Fのｙ方向の成分、
>h(X)=h(DU)はベクトル場Fのｚ方向の成分
は
f(X)=f(D^(-1) U)はベクトル場Fのｘ方向の成分、
g(X)=g(D^(-1) U)はベクトル場Fのｙ方向の成分、
h(X)=h(D^(-1) U)はベクトル場Fのｚ方向の成分
のことですかね。間違っていたらごめんなさい。

回答No.4

eatern27

>「xとyとzの変数が座標変換Aに対してx',y',z'にそれぞれ変換されるということを意味する。」と解釈してよろしいでしょうか。

xがx'に、yがy'に、zがz'に変換されるのではなく、
(x,y,z)という組が(x',y',z')という組に変換されます。

お礼

補足なのですが、編集中に誤って投稿されてしまったようのでお礼欄に書きます。内容はほとんど同じです。ご迷惑おかけします。

誤解なのか、それとも補足方法が悪かったのか判断がつかないので、もう一度確認させてください。自分は

>つまり、
>(Ax,Ay,Az)を座標変換して(Ax',Ay',Az')になったとすれば、
>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>(Ax,0,0)→(Ax',0,0)
>(Ax^2,Ay^2,Az^2)→(Ax'^2,Ay'^2,Az'^2)
>のように座標変換するという事を想定しています。

のうち、

>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')

のような変換を座標変換と呼んでいいのかが分からず、それぞれの変数を単純に置き換えているものと思いました。言い換えると、確認したかった解釈とは
１、(x,y,z)^tの組Xはベクトルであり、座標変換で(x',y',z')^tという組X'に変換される。この変換は行列Dを用いて,X' = DXと表現できる。（ただし(x,y,z)^tは列ベクトル）
２、以後座標変換に対して変数x,y,zはx',y',z'とそれぞれ変換されるとする。
３、3つの数の組F=(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))^tがベクトルであるとは、変数をそれぞれ変換したF'=(f(x',y',z'),g(x',y',z'),h(x',y',z'))^tがF'=DFを満たすならばFはベクトルである。

というものです。まったくの誤解かもしれませんが、もう少し続けさせてください。今まで自分は変換を表現する行列との積が座標変換だと思いおこみ、座標変数と同様の変換が分かりませんでした。ところが上述の1～3の流れで解釈すると、うまくいくように思えました。すなわち座標変換によってベクトル (x,y,z)が→(x',y',z')となるとき
座標変換　= 「ある三つの数の組にx,y,zが含まれているならば、x',y',z'と単純に置き換える」
座標変数と同様の変換 = 「座標変数の変換（ベクトルの変換と同じ）を表す行列で表現される変換」
ベクトル　= 「[x,y,zを、x',y',z'と単純に置き換えた結果] = [座標変数の変換を表す行列を用いた変換の結果]を満たす三つの数の組」とすると、提示していただいた例を全て理解できるとおいもうのですが・・・・。
やっぱり誤解ですかね。長文の上、分かりづらくて申し訳ありません。

補足

誤解なのか、それとも補足方法が悪かったのか判断がつかないので、もう一度確認させてください。自分は

>つまり、
>(Ax,Ay,Az)を座標変換して(Ax',Ay',Az')になったとすれば、
>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>(Ax,0,0)→(Ax',0,0)
>(Ax^2,Ay^2,Az^2)→(Ax'^2,Ay'^2,Az'^2)
>のように座標変換するという事を想定しています。

のうち、

>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
>(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')

のような変換を座標変換と呼んでいいのかが分からず、それぞれの変数を単純に置き換えているものと思いました。言い換えると、確認したかった解釈とは
１、(x,y,z)^tの組Xはベクトルであり、座標変換で(x',y',z')^tという組X'に変換される。この変換は行列Dを用いて,X' = DXと表現できる。（ただし(x,y,z)^tは列ベクトル）
２、以後座標変換に対して変数x,y,zはx',y',z'とそれぞれ変換されるとする。
３、3つの数の組F=(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))^tがベクトルであるとは、変数をそれぞれ変換したF'=(f(x',y',z'),g(x',y',z'),h(x',y',z'))^tがF'=DFを満たすならばFはベクトルである。

というものです。まったくの誤解かもしれませんが、もう少し続けさせてください。今まで自分は変換を表現する行列との積が座標変換だと思いおこみ、座標変数と同様の変換が分かりませんでした。ところが、上述の1～3の流れで解釈すると、うまくいくように思えました。すなわち座標変換によってベクトルが(x,y,z)→(x',y',z')となるとき
座標変換　= 「ある三つの数の組にx,y,zが含まれているならば、x',y',z'と単純に置き換える」
座標変数と同様の変換 = 「上述の自分の解釈のように行列で表現される変換」
ベクトル　= 「[x,y,zを、x',y',z'と単純に置き換えた結果] = [座標変数の変換を表す行列を用いた変換の結果]を満たす三つの数の組」とすると、提示していただいた例を全て理解できるとおいもうのですが・・・・。やっぱり誤解ですかね。長文の上、分かりづらくて申し訳ありません。

回答No.3

shiara

数学的に厳密な説明はできませんが、概要としては以下のようなものです。
ある座標系Xiから別の座標系X'iへ座標変換を行ったとき、成分を持った量Aiが次の変換式で変換されるとき、Aiをベクトルと定義します。
A'i＝∂x'i/∂xj・Aj
∂x'i/∂xjがベクトルの変換係数になります（行列で表すことができます）。
少し説明しますと、次のようになります。ベクトルは、座標変換を行った時の変換の規則から定義されます。ですから、最初に座標変換を決めなければなりません。例えば、X-Y平面での回転の座標変換は次のようになります。
x'1 = cosθx1 - sinθx2
x'2 = sinθx1+ cosθx1
x'3 = x3
x1,x2, x3はx、y、zのことですが、一般的な表現とするために添字を使っています。なお、この場合、上記の式はベクトルの変換式と同じものになっていますが、変換前後の座標変数が１次式になっているためで、一般的には座標変換式とベクトルの変換式は違うものです。別のよく知られている例として、直交座標系と極座標系との間の座標変換があります。
x1 = x'1・sin(x'2)・cos(x'3)
x2 = x'1・sin(x'2)・sin(x'3)
x3 = x'1・cos(x'2)
この場合のx'1, x' 2,x'3は、通常はr,θ,φと表記されるものです。この場合のベクトルの変換式は、上記とは違うものであることは容易に分かると思います。
このように、座標変換は、一方の座標変数がもう一方の座標変数の関数になっています。ここで、一方の座標変数の全微分と取ると、
δx'1 = ∂x'1/∂x1・δx1 + ∂x'1/∂x2・δx2 + ∂x'1/∂x3・δx3
δx'2 = ∂x'2/∂x1・δx1 + ∂x'2/∂x2・δx2 + ∂x'2/∂x3・δx3
δx'3 = ∂x'3/∂x1・δx1 + ∂x'3/∂x2・δx2 + ∂x'3/∂x3・δx3
この式は、(δx1,δx2,δx3)という量が、座標変換によって(δx'1,δx'2,δx'3)に変換されることを表しています。そこで、(δx1,δx2,δx3)と同じ変換をするものをベクトルと定義します。
なお、上記で定義されるベクトルは反変ベクトルといわれるもので、この他に共変ベクトルというものがあります。回転という座標変換だけを考えている場合は、反変ベクトルと共変ベクトルとの違いはありません。

補足

回答ありがとうございます。一点確認したいのですが、
>ある座標系Xiから別の座標系X'iへ座標変換を行ったとき、成分を持った量Aiが次の変換式で変換されるとき、Aiをベクトルと定義します。
>A'i＝∂x'i/∂xj・Aj
というのは、縮約規約を使用されいていますか？文脈上おそらく使用なさってるとは思いますが。
ご指摘いただいたのは、自分が座標回転を考えているのに対し、一般的な座標変換に対するベクトルの定義でよろしいでしょうか？自分はこのような定義にはまだ触れたことがなく、とても興味深いのです。残念なことに今自分が理解できないところは
>そこで、(δx1,δx2,δx3)と同じ変換をするものをベクトルと定義します。
です。もう少しで理解できそうなのですが・・・・。具体的に絞ると、eatern27様が回答No.2で挙げてくださっているような、ベクトルかどうかの判断に手間取っています。もし回答内容から自分がくみとれていないだけならば、申し訳ありません。