基底変換とベクトルの成分変換について

質問

ちょっと確認したいです。
直交座標系（つまり直角座標、円柱座標、球座標など）の間で座標変換を行うとき、基底変換の表現行列とベクトルの成分変換の変換行列は同じものですか。
つまり直交座標系どうしで座標変換を行うとき、基底変換の表現行列は同時にベクトルの成分変換の変換行列になりますか。

回答No.4

noname#221368

#2です。間違いました。すいません。

　B1，B2をベクトル空間Vの基底、B1，B2に対するxの表現ベクトルをa1とa2、B1→B2の変換行列をSとすれば、a2→a1を行う変換行列は、同じSです。よって、

　　S：a2→a1

なので、

　　S^(-1)：a1→a2

となり、基底（座標軸）をθ回転させるのと、ベクトルx自体をθ逆回転させた時のベクトル成分への効果は同じ事になります。

　・・・申し訳ない。

回答No.3

nobuyuki0505

No.1です。お礼読みました。

ベクトル解析の話だったんですね。
純粋数学でのベクトル（線形代数）の話だと思っていたので、
なぜベクトルで円柱座標などが出てくるのかな？と思っていました。

ベクトル解析は勉強したことがないので、もしかすると間違いなどもあるかもしれませんが、
どうやら純粋数学でいう多様体論と関係深いようなので、

多様体論として、ならば説明できます。

>＞ベクトルの成分変換、が何を意味しているのか、によりますが、
>ベクトルの成分変換の意味は、例えばあるベクトルの直角座標での成分表示と、その同じベクトルを極座標で成分表示したときの成分表示の間の変換、およびその逆変換の意味です。

それでしたら、双対空間V*は関係しませんね。

多様体論では、局所座標系の座標変換、が関係します。
しかし、そうなると質問の意味をとらえかねますね。。。

もしかすると、ベクトル解析を知らないから、かもしれません。
力になれず、申し訳ないです。

>＞そもそも円柱座標や球座標には「直交」という概念が不足しています。
>これについては、以下のような記述を見たので円柱座標や球座標は直交座標系の一種であると考えるようになったのですが・・・。

これはこちらのミスですね。
＊＊＊【以下弁明】＊＊＊＊＊＊＊＊＊
弁明すると、円柱は多様体としてはθ=0,2πが重なるため、2枚の直交座標を重ねて円柱を作ります。
球も重なる部分ができないように、いくつかの直交座標を重ねて球を作ります。

つまり、円柱も球も直交座標を何枚か重ねてその多様体を作るので、直交座標平面と球・円柱は異なる物です。

しかし、質問者様の場合は直交座標系、円柱座標系、球座標系、と言葉はにているものの、
別の言葉であるため、私がそれを誤認してしまった、ということです。

円柱座標系が直交座標系であるかどうかは、直交座標系の定義によりますが、
私はその定義をしらないので、判断を下せません。
wikiが直交座標系というのなら、そうなのでしょう。
＊＊＊【弁明おわり】＊＊＊＊＊＊＊＊

お礼

私は最近解析力学を勉強しているのですが、そこで微分形式というものが出てきましてこの微分形式というものに興味が湧いてきて、微分形式のことを調べ始めたところです。
するとこの微分形式は多様体というものと深く関連していることが分かってきました。
ここで質問したこともおそらく微分形式→多様体と勉強していくうちに自然に解決されるものなのでしょう。
質問の件は現時点ではまだ十分には理解出来ていませんが、とりあえず保留とし微分形式→多様体について勉強することにしました。
有難うございました。

回答No.2

noname#221368

こういう事ですか？。

　xをn次元ベクトル空間Vの要素、B＝{v1，v2，・・・，vn}をVの基底として、線形結合、

　　x＝a1・v1＋a2・v2＋・・・＋an・vn

の係数a1，a2，・・・，anを集めた数ベクトルa＝(a1，a2，・・・，an)の事を、基底Bに対するベクトルxの表現ベクトルと言いますが、ご存じですか？。ベクトルの成分変換の成分とは、これだと思いました。

　B1，B2をベクトル空間Vの基底、B1，B2に対するxの表現ベクトルをa1とa2、B1→B2の変換行列をSとすれば、a2→a1を行う変換行列がS^t（Sの転置）になります。これは線形変換の定義に従えばすぐ出てきますが、SとS^tの変換方向が逆なのに注意して下さい。

　という訳であまり期待通りにはならないのですが、Sが直交行列の場合、上記関係はスマートになります。Sが直交行列になる典型例は、直交基底から直交基底への変換です。直交基底から直交基底への変換であっても、Sが直交行列にならない例はいくらでも作れますが、不便なので普通は直交行列になるような基底をとると思います。その場合、

　　S^t：a2→a1

は、S^t＝S^(-1)（逆行列）なので確かに、

　　S：a1→a2

になります。そりゃそうですよね、基底（座標軸）をθ回転させるのと、ベクトルx自体をθ逆回転させた時のベクトル成分への効果は明らかに同じです。

　ちなみに#1さんの、

＞そもそも円柱座標や球座標には「直交」という概念が不足しています。
（定義はもちろんできますが、それがベクトル空間の言う直交とは異なる可能性が高いですし。）

＞ 直交座標はあくまで、直角座標のみに使われるのであって、ほかの図形の座標は、直交座標を「利用して」パラメータ表示しているだけ、となります。

は、厳密にはその通りです。直交を言うためにはベクトル空間に内積を定義する必要があり、たんなるベクトル空間を計量空間にする一定の手続きが必要です。なので大雑把にいえば、円柱座標や球座標の曲線座標軸の接線ベクトルの組を、ベクトル空間としてのデカルト座標系の自然基底が直交変換された基底と同一視した、という事になると思います。

　　※けっこうこの同一視が、多様体のアイデアの素になってる気もするのですが・・・。

　それでまぁ~そのような解釈が可能なので、実用的には円柱座標や球座標も直交座標と呼ぶ事は多いと思います。

回答No.1

nobuyuki0505

ベクトルの成分変換、が何を意味しているのか、によりますが、

おそらくベクトル空間Vに対して、その双対空間V*の基底変換はどう表すことができるのか？
という質問だと思います。
その場合、答えは否定的です。ベクトル空間Vでの基底の変換Aがあれば、双対空間での変換行列はその転置t(A)となります。

くわしくは次をご覧ください。
http://matha.e-one.uec.ac.jp/~yyyamada/Lecture/MainAG.pdf

ところで、いくつか言葉の誤用が見られるので、訂正しておきます。
少し長くなりますが、おつきあいください。

(1)円柱座標や球座標に直交座標系、という言葉を用いていること。
円柱座標や球座標は、パラメータ表示するときに直交座標を用いているだけであり、
これは一般に直交座標とは言いません。

そもそも円柱座標や球座標には「直交」という概念が不足しています。
（定義はもちろんできますが、それがベクトル空間の言う直交とは異なる可能性が高いですし。）

直交座標はあくまで、直角座標のみに使われるのであって、
ほかの図形の座標は、直交座標を「利用して」パラメータ表示しているだけ、となります。

円柱座標や球座標などを詳しく知りたい場合は、数学の「多様体」を勉強するといいです。
円柱や球は多様体となります。

(2)表現行列の使い方
表現行列とは、線形写像φに対して、そのφを表現する行列のことを表現行列と言います。

ゆえに、「基底変換の表現行列」は間違った使い方です。

基底を変換する行列は、変換行列、といいます。

(3)ベクトルの成分変換の変換行列
これはそれほど間違っているわけではないのですが、
ベクトルの成分とは、(x,y,z)などの各パラメータのことを意味します。

基底を選ぶ、ということは、その基底をたとえばe1,e2,e3とおいて、
a=x e1 + y e2 + z e3
などと表すのが一般的でしょうから、
成分変換ではなくて、基底で線形に表した場合の「係数変換」の方が妥当です。

しかし、係数変換という言葉はあまり使われず、
双対ベクトル空間V*での双対基底の変換行列
と表現するのがもっとも妥当だとは思います。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
もう一度ベクトル解析を復習して考えますが、

＞ベクトルの成分変換、が何を意味しているのか、によりますが、

ベクトルの成分変換の意味は、例えばあるベクトルの直角座標での成分表示と、その同じベクトルを極座標で成分表示したときの成分表示の間の変換、およびその逆変換の意味です。

＞そもそも円柱座標や球座標には「直交」という概念が不足しています。

これについては、以下のような記述を見たので円柱座標や球座標は直交座標系の一種であると考えるようになったのですが・・・。

「極座標系は、直交曲線座標系の一種であるから、円柱座標系は直交曲線座標系であり、直交曲線座標系は直交座標系の一種なので、円柱座標系は直交座標系の一種である。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E6%9F%B1%E5%BA%A7%E6%A8%99%E5%A4%89%E6%8F%9B#r-.CE.B8-.CE.B6.E7.A9.BA.E9.96.93.E3.80.81x-y-z.E7.A9.BA.E9.96.93.E3.81.AE.E6.AD.A3.E4.BD.93

(ex, ey, ez), (eρ, eφ, ez), (er, eθ, eφ)を基底ベクトルとする座標系を考える。
これらはいずれも、規格直交系をなし、デカルト「座標系」、円柱「座標系」、球「座標系」と呼ぶべき座標系である。

http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/~k-komaki/kougi/M04BHW3.pdf

などなど。

＞おそらくベクトル空間Vに対して、その双対空間V*の基底変換はどう表すことができるのか？
という質問だと思います。
その場合、答えは否定的です。ベクトル空間Vでの基底の変換Aがあれば、双対空間での変換行列はその転置t(A)となります。

直交変換どうしの変換行列は直交行列であり、直交行列の逆行列は転置行列なので、例えば直角座標の基底→極座標の基底への変換行列は、極座標の基底→直角座標の基底への変換行列は互いに逆行列の関係にあると同時に、互いに転置行列の関係にあると理解していました。