ベクトルの定義について教えてください

質問

最近ベクトルの定義を見直しているのですが、「座標回転に際して座標変数と同じように変換される三つの量」や「直交座標の座標軸間の角度を直角に保ったまま、原点を変えないで方向だけを変える変換（直交変換）の規則に従って変換される量」という定義がよくわかりません。R^3に限って考えて、具体的にどうわからないのかというと

１．座標回転に際してR^3の要素（まだベクトルかわからない）の変換をどう施すか。または、ベクトルの定義以前に座標回転に対するR^3の要素の変換を定める必要があるのではないか。

２.R^3の要素でありながらベクトルとは認められないもがあるのか。あるとしたらどう示すか。

　自分の誤解かもしれませんが、R^3の要素がベクトルかどうかを判断するには、R^3の座標回転による変換とR^3に回転行列の要素をそれぞれかけて足し合わせたものが一致するかを確かめるとすると、R^3が座標回転に際してどう変換されるかを定める必要があると思うのです。どなたかご教授お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>座標回転に際してR^3の要素（まだベクトルかわからない）の変換をどう施すか。
それは考えているR^3の要素によります。
※通常の文脈では、物理ではベクトルでないR^3の要素は登場しませんので、ベクトルでないR^3の要素の変換則は基本的には考える必要がありません。

>ベクトルの定義以前に座標回転に対するR^3の要素の変換を定める必要があるのではないか。
考えているR^3の要素がベクトルかどうかを知りたい時には必要になるでしょうが、「ベクトル」という概念を定義する上では必要ありませんよね。(必要があると思うのならその理由を)

>２.R^3の要素でありながらベクトルとは認められないもがあるのか。あるとしたらどう示すか。
そもそも、R^3の要素というのは数学的には単なる３つの実数の組ですよね。物理においては、ベクトルでないのであればわざわざ３つの実数を組にして考える意味がありません。物理的に意味がないという意味では仰るようなものは存在しません。
物理的な意味がなくてもいいから存在するのかといいう事であれば、いくらでも存在します。(３つの実数を適当に組にすれば大抵のものはベクトルではありません)

例)
・(1,0,0)　← 座標変換しても(1,0,0)のままの量。
・φをスカラーとした時、(φ,φ,φ)
・A=(Ax,Ay,Az)をベクトルとした時、(Ay,Ax,Az),(Ax,0,0),(Ax^2,Ay^2,Az^2)など

補足

早速のご回答ありがとうございます。いただいた回答に対する質問があります。
＞A=(Ax,Ay,Az)をベクトルとした時、(Ay,Ax,Az),(Ax,0,0),(Ax^2,Ay^2,Az^2)など
とありあますが、この理由はどうしてですか？おそらくここが分かると疑問ははれると思うのですが。

回答No.2

eatern27

>＞A=(Ax,Ay,Az)をベクトルとした時、(Ay,Ax,Az),(Ax,0,0),(Ax^2,Ay^2,Az^2)など
>とありあますが、この理由はどうしてですか？おそらくここが分かると疑問ははれると思うのですが。

えっと、書き方が悪かったかな。
(Ay,Ax,Az)というのは、ベクトルのx,y成分を入れ替えた量
(Ax,0,0)というのは、ベクトルのy,z成分を0にした量
(Ax^2,Ay^2,Az^2)というのは、ベクトルの各成分を二乗した量
を想定します。

つまり、
(Ax,Ay,Az)を座標変換して(Ax',Ay',Az')になったとすれば、
(Ay,Ax,Az)→(Ay',Ax',Az')
(Ax,0,0)→(Ax',0,0)
(Ax^2,Ay^2,Az^2)→(Ax'^2,Ay'^2,Az'^2)
のように座標変換するという事を想定しています。

※ちょっと考えれば分かるでしょうが、例えば(Ay,Ax,Az)と(Ay',Ax',Az')は一般には違う方向・長さになっています。一方、(Ax,Ay,Az)と(Ax',Ay',Az')は基底ベクトルの違いで各成分に違いはありますが、その違いを考慮すれば同じ方向・長さになっています。こうやって、座標変換の前後で方向・長さが変わらないような量が「ベクトル」です。

補足

ご協力のおかげでもう少しでわかりそうです。確認したいことが１点あります。(x,y,z)はベクトルで座標変換Aに対して(x',y',z')に変換されるとは、「xとyとzの変数が座標変換Aに対してx',y',z'にそれぞれ変換されるということを意味する。」と解釈してよろしいでしょうか。
　物分かりがよいほうではないので、お手数おかけして申し訳ありません。よろしかったらもう少しだけお付き合いください。