詳しい解説をお願いします。

質問

以下の問題です。

ベクトルの成分が座標変換によって式(11)のように変換されるとき、基底は式(12)のように変換されることを示せ。ただし、ここではR_ijは回転変換に限らないものとする。
添付画像の上式が式(11)、下式が式(12)です。
ベクトル↑vは
↑v=(v1)
(v2)
(v3)
回転座標変換を表す行列をR=(R_ij)
と書く事にします。ベクトルの成分が回転座標変換に対して
v_i'=Σ【j=1→3】R_ijv_j
のように変換されるものとします。↑eを基底とします。

よろしくお願いします。

回答No.1

phyonco

↑vを基底で表すと
↑v = Σ【i=1→3】v_i ↑e_i
座標が回転されてv_iが
v_i -> v'_i = Σ【j=1→3】R_ijv_j
と変化したとする。この回転に伴い基底が
↑e_i -> ↑e'_i
と変化したとする。
座標が回転したのであって
ベクトルそのものは不変であるから、
↑vそのものは変わらない。そこで、
↑v = Σ【i=1→3】v'_i ↑e'_i
= Σ【i=1→3】Σ【j=1→3】R_ijv_j ↑e'_i
= Σ【j=1→3】Σ【i=1→3】v_j R_ij ↑e'_i
= Σ【j=1→3】Σ【i=1→3】v_j R_ij ↑e'_i
iをj, jをiと書き直して
= Σ【i=1→3】v_j (Σ【j=1→3】 R_ji ↑e'_j)
これが最初に書いた式に一致しなければならないから
Σ【j=1→3】 R_ji ↑e'_j = ↑e_i
両辺に右から(R^-1)_ikを掛けてiで和をとれば、
Σ【i=1→3】 R_ji (R^-1)_ik = delta_{jk}
（ただしdeltaはクロネッカーのでるた、）だから、
↑e'_k = Σ【i=1→3】↑e_i (R^-1)_ik
が得られる。