複素数の階乗について

質問

複素数の階乗を考える場合、どうやって考えていいのかわかりません。
具体的には
|(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
の証明なのですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。ガンマ関数を使って解くというのは、予想がつくのですがそこからすすまずにとまっています。
よろしくおねがいします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
[具体的には |(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
の証明なのですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。ガンマ関数を使って解くというのは、予想がつくのですがそこからすすまずにとまっています。 ]

ハイパボリックサインなんかがありますので複雑のように見えますが与式を少し整理して考えるといいんですね。
|(ix)!|^2=πx/sinh(πx)
sin(ix)=isinh(x)　の関係がありますので、
z=(ix)
|(ix)!|^2=|z!|^2=πz/sin(πz)
→z*{π/sin(πz)}=z*Γ(z)Γ(1-z)
Γ(z)Γ(1-z)={π/sin(πz)}
になりますから漸近化式に持ち込めばできそうでね。
そこで、
z!=Γ(z+1)
Γ(z+1)=∫[0→∞]t＾-1*t＾z*dt
|z!|^2=|Γ(z+1)|＾2=|Γ(z+1)|*|Γ(z+1)|
=|Γ(z+1)*z*Γ(z)|=|z*Γ(z+1)*Γ(z)|
ここで、
|z+1|=z', z=-(1-z') と置いて考えると、
|Γ(z+1)*Γ(z)|=|Γ(z')*Γ(-(1-z))|
=|-Γ(z')*Γ(1-z')|=Γ(z')*Γ(1-z')
つまり、|Γ(z+1)*Γ(z)|≡Γ(z)Γ(1-z)　ですね。
だから
|z!|^2=|z*Γ(z+1)*Γ(z)|=πz/sin(πz)
になりますね。
zの代わりにixを使えば、
|(ix)!|^2=πix/sin(πix)=πx/sinh(πx)
の形になりますね。
ということでしょうかね。
簡便ですが参考程度に

註：Γ(z)Γ(1-z)={π/sin(πz)}になることはオイラー関数を参考に。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
理解できました。
特殊関数の勉強しているのですが、やっと前に進めそうです。