双曲線関数の逆関数の導関数の証明をお願いします

質問

双曲線関数の逆関数の導関数の証明をお願いします

1.(cosh[-1]x)'=1/(√(x^2-1))　(x>1)

2.(sinh[-1]x)'=1/(√(x^2+1))

お願い致します

回答No.1

banakona · ベストアンサー

（１）だけ。
ｙ＝ｃｏｓｈ-1ｘ　とすると　ｘ＝（ｅ^y＋ｅ^-y）/２
　ｔ＝e^y　とおくと　ｘ＝（t+1/ｔ）/２
　　整理すると、　　ｔ^2－２ｘｔ＋１＝０
　2次方程式の解の公式で　　ｔ＝－ｘ＋√（ｘ^2－１）　（ｔ＝e^y＞０なので復号の－はありえない）
　戻して　　e^y＝－ｘ＋√（ｘ^2－１）
　　　　　∴ｙ＝log（－ｘ＋√（ｘ^2－１））
あとは合成関数やら何やらを使って微分していくと、証明できます。
途中くじけそうになるかもしれないけど、意外とすっきりイケます。