複素数の問題の質問です。

質問

複素数の問題の質問です。

x^3=1+i
を解きなさい

これのうちx^3=1+i答えは、三角関数で表せないから角度で表わすと思うのですがどうですか？

問題の解き方も教えてもらえるととてもありがたいのですが・・・・

よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

＞問題の解き方も教えてもらえるととてもありがたいのですが

どのように表示するかは別にして、解くだけなら簡単だろう。

(1-i)＾3＝-2(1+i)だから、x^3＝(1-i)＾3/(-2)になるから2x^3＋(1-i)＾3＝0.
これは　a＾3＋b＾3＝(a＋b)*(a＾2＋b＾2-ab)＝0　の形になる。

いずれにしても、綺麗な形には　ならないな。

回答No.2

oyaoya65

x^3=1+i=√2(1/√2 +i/√2)=√2e^(iπ/4) (←絶対値と位相項で表す)
={2^(1/2)}e^(iπ/4+i2nπ)　（n:整数)　(← 一般形で表す)

絶対値、位相項とも(1/3)乗する
x={2^(1/6)}e^(iπ/12 +i2nπ/3) (n=0,1,2)

n=0とおいて
x={2^(1/6)}e^(iπ/12)
={2^(1/6)}{cos(π/12)+isin(π/12)}
cos(π/12)=cos(π/3-π/4)=(1/2)(√2/2)+(√3/2)(√2/2)=(√2+√6)/4
sin(π/12)=sin(π/3-π/4)=(√3/2)(√2/2)-(1/2)(√2/2)=(√6-√2)/4
∴x={2^(1/6)}(√2+√6+i√6-i√2)/4
=(√2+√6+i√6-i√2)*2^(-11/6)
=(1+√3+i√3-i)*2^(-4/3)

n=1とおいて
x={2^(1/6)}e^(i3π/4)
={2^(1/6)}{cos(3π/4)+isin(3π/4)}
={2^(1/6)}(-√2/2+i√2/2)
={2^(-1/3)}(-1+i)=(i-1)2^(-1/3)

n=2とおいて
x={2^(1/6)}e^(i17π/12)
={2^(1/6)}{-cos(5π/12)-isin(5π/12)}
=-{2^(1/6)}{cos(5π/12)+isin(5π/12)}
cos(5π/12)=cos(π/4+π/6)=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4
sin(5π/12)=sin(π/4+π/6)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4

x=-{2^(1/6)}(√6-√2+i√6+i√2)/4
=-(√6-√2+i√6+i√2){2^(-11/6)}
=-(√3 -1+i√3+i){2^(-4/3)}

お礼

ご返答ありがとうございます。

さっそく参考にさせていただきます。。

回答No.1

Kules

角度で表す…sinθの形で表すことを言っているのでしょうか？
θは角度を表していますが、sinθが表しているのはれっきとした「値」です。
有名角でなければ（度数でいうところの15°の倍数）値には戻せませんが、例えばsin10°のような答えも角度で表しているわけではありません。

問題の解き方…
右辺をr(cosθ+isinθ)の形で表す。
x=p(cosφ+isinφ)ということにしておくと、x^3はｐとφで表すことができる。（ド・モアブルの定理？）
pの式とrの対応、θとφの式の対応辺りからp,φを求める。（φの範囲に注意）

で終了です。
多分有名角なのでcosやsinは残りません。

参考になれば幸いです。

お礼

ご返答ありがとうございます。

さっそく参考にさせていただきます。