双曲線関数のテイラー展開

質問

２つの双曲線関数のテイラー展開が下のようになることを証明したいのですが、どのように証明すればよいのかわかりません。
よろしければ、どなたか詳しい証明をお願いします。

sinh(x) = Σ[ {1/(2k+1)!} exp(2k+1)]
cosh(x) = Σ[ {1/(2k)!} exp(2k)]

Σの範囲はk=0～k=∞です。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

テイラー展開については
次の参考URLをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
正確にはx=aにおけるf(x)のテイラー展開といいます。
x=0におけるf(x)のテイラー展開の事は
マクローリン展開といいます。
その意味で質問の問題はマクローリン展開という方がベターです。

しかし、証明する式
＞　sinh(x) = Σ[k=0,∞] [{{1/(2k+1)!} exp(2k+1)]
＞　cosh(x) = Σ[k=0,∞] [{1/(2k)!} exp(2k)]
はマクローリン展開でも、テイラー展開でもありません。
正しくは
　sinh(x) = Σ[k=0,∞] [{{1/(2k+1)!} x^(2k+1)]
　cosh(x) = Σ[k=0,∞] [{1/(2k)!} x^(2k)]

双曲線関数sinh(x)とcosh(x)のマクローリン展開の正しい展開式は上記参考URLに掲載されていますので確認下さい。

お礼

ご指摘ありがとうございます、右辺を書き間違えてしまいました。

回答No.1

koko_u_u

右辺がどう見ても Taylor 展開ではないのですが。。。