階乗の拡張がΓ関数だけである理由

質問

階乗の拡張がΓ関数だけである理由
0以上の整数xに対してf(x+1) = x! …(1)
という条件を満たす関数f(x)を考えます。
Γ(x)は(1)を満たしますが、x>0で単調増加でなくてもよいなら
Γ(x) cos(2πx)
Γ(x) {1 + sin(πx) }
なども(1)を満たします。また、微分可能でなくてもよいなら
(1)を満たす格子点たちを結んだ線分がなす折れ線
も(1)を満たします。

しかし一般的に階乗の拡張というとΓ(x)のみを指しますよね。これはなぜでしょうか。
何らかの（自然な）条件を加えて、(1)とその条件を満たす関数がΓ(x)のみにすることができるのでしょうか。

回答No.1

nakaken88 · ベストアンサー

> 何らかの（自然な）条件を加えて、(1)とその条件を満たす関数がΓ(x)のみにすることができるのでしょうか。

その通りです。

「ボーア・モレルップの定理」というものがあります。階乗になること以外にも条件をつけると、ガンマ関数だけになります。ここらへんの話を理解するには、大学で学ぶ複素関数論などの知識が必要です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%83%E3%83%97%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

ボーア・モレルップの定理！
まさに望んでいた定理でした。
御回答ありがとうございます。

回答No.2

bran111

Γ(x)はすべての複素数について定義され、実数だけ考えても整数のみに対して定義される階乗とは全く異なります。よって
Γ(1/2)＝√π
ですが質問者の言う関数は
Γ(1/2) cos(2π/2) =-√π
Γ(1/2) {1 + sin(π/2) }=2√π
となり全く別のものを定義しているにすぎません。「拡張」の意味をよく考えてください。

補足

>Γ(1/2)＝√π
を満たさないので拡張ではない、というのであればΓ(x) cos(4πx) は拡張であるといえるのでしょうか。

そもそも
>Γ(1/2)＝√π
を前提とすることは「Γ関数だけが階乗の拡張だから、Γ関数と値の異なるものは拡張ではない」という論理に思えます。
私が聞きたいのはなぜΓ関数だけが階乗の拡張といえるのかです。