三角関数の問題です

質問

「原点を中心とする半径１の円Oの周上に定点A(1 , 0)と動点Aをとる。円Oの周上の点B,Cで、PA^2+PA^2+PC^2がPの位置によらず一定であるような点B,Cを求めよ。」
という問題なのですが、B,Cを(cosα,sinα),(cosβ,sinα)で表したとき
0≦α<β＜３６０゜となっていたのですが、なぜこうなるのかわかりません。

まずなぜα<βなのでしょうか？α≦βだと思うのですが。
それと、なぜβ＜３６０゜とかけるのかわかりません。
ぐるぐる回ると考えて、360nをひっつける必要があると思ったのですが。

ちなみにα<βのように大小関係を設定するのはα,βが対称の時ですよね。

回答No.4

hikaru_mac · ベストアンサー

ふたたびhikaru_macです。

no3の方とだぶってしまいそうですが、回答します。

>360n関連の問題について。
かならず360nをつけなければならないと言うことは有りません。
しかし、つけて間違いになることは有りません。
今回の問題に関してはα、βは0と360の間としても、問題有りません。
そして360nを足して解いても、問題有りません。
しかし最終的に点Bと点Cをの座標を求めると、360nはあってもなくてもいっしょになってしまいます。
それから360nをつけた時にはαとβの大小関係を考えにくくなります。

>上の事と関係してくるのですが、ここからα≠β関連について
点Bと点Cとα、βに関して次のように考えてはどうでしょう。
「解となる点Bと点Cの偏角の小さい方をα、大きい方をβとする。
このとき、角度は0≦α≦β＜360としてもよい。」
ちなみに最後の「してもよい」は数学では「～としても一般性を失わない」と書くことが有ります。
それからもちろん点Bと点Cが同じ点である可能性を考えて、α≦βとするのは間違いでは有りません。むしろ、そのほうが安全です。
しかしながら、同じ点の時にB、Cと別の呼び方をすることは珍しい。
片方が定点で片方が動点ならともかく、両方とも定点で、しかも同じ位置に有ると言うのは　ちょとおかしいです。
そうはいっても、論理的にはその状況を否定する根拠はないのでα=βの状況含めて考える「0≦α≦β＜360」はいいとおもいます。

お礼

どうもこんにちは。有り難うございます。

＞それから360nをつけた時にはαとβの大小関係を考えにくくなります。

そうですね、そこが問題ですよね。私はそこで困りました。

＞「解となる点Bと点Cの偏角の小さい方をα、大きい方をβとする。
このとき、角度は0≦α≦β＜360としてもよい。」

なるほど、そのように断っておけば、360nをつけなくていいし楽ですね。さっそく使わせていただこうと思います。

＞しかしながら、同じ点の時にB、Cと別の呼び方をすることは珍しい。
片方が定点で片方が動点ならともかく、両方とも定点で、しかも同じ位置に有ると言うのは　ちょとおかしいです。

んなるほど、そういう理由で＝の場合を除外してあるのですね。理由がわかりました。いちおう私も「0≦α≦β＜360」で考えていこうと思います。あり画とうっございます。とても参考になりました。

回答No.5

aster

＞まずなぜα<βなのでしょうか？α≦βだと思うのですが。

これは、問題を少し考えてみると、α＝βでは、答えが出ないということが分かるので、α<βとするのだと思いますが、無論、式を立てる時には、α≦βから出発するのが自然です。ただ、それで少し問題を解く方法を考えていると、α＝βでないことが分かるので、設問者が、α＝βでないことを、教えてくれているのです。

数学の問題で、簡単に分かるところは、質問者が、これはこうなるが、と言って、答えを言って、ところで、この場合は、という風に本当の問題を出すということがよくあります。また、ヒントして、ある程度解いたところから、その先を解くように、という問題もあります。そういう意味で、ゼロから問題を解くなら、α≦βになるでしょう。

ただ、それに疑問を感じていると、「B,Cを(cosα,sinα),(cosβ,sinβ)で表したとき」というのも、何故、こんな表し方をしないといけないのか？という話になります。Ｂ，Ｃをどう表すかは個人の自由だともなります。

問題は、Ｂ，Ｃを求めることで、α、βを求めることではありません。Ｂ，Ｃをα、βで、こういう風に表すとという風にして、ヒントというか、解き方を教えてくれているということです。または、この解き方で解きなさいと一応述べているのです。

＞それと、なぜβ＜３６０゜とかけるのかわかりません。

α、βは、Ｂ，Ｃを表現するために、仮に使ったのです。Ｂ，Ｃに関して言えば、３６０度の円周の上にあるはずで、αやβを回して行くと、円周を一回回ると、それで、どこかの時にＢ，Ｃが表現できているので、それ以上、α、βを回す必要がないので、３６０ｎを加えると言うことはしていないのです。

β＜３６０゜ではなく、β≦２６０度が正確だと思います。β＝３６０度だと、Ａ点がＣ点と重なりますが、これが解でないというのも、計算すると出てくることです。設問者が、ここでも、ヒントを出しているのです。

＞ちなみにα<βのように大小関係を設定するのはα,βが対称の時ですよね

「対称」というのを、どういう意味で使っておられるのか分かりませんが、問題の条件では、Ｂ，Ｃは、「同じ条件」です。α、βも「同じ条件」です。どちらか一方が決まると、他方も決まるのですが、先に決まる変数は、αかβか、どちらでも構いません。

そこで、どちらかを大きいとしてよいということになります。これは「条件が対称」だからです。同じ条件なので、一方の変数を大きい方の変数とするということです。こうすると問題が解きやすくなるので、確かに「条件が対称」なので、「α<βのように大小関係を設定する」のだ、言えます。

お礼

＞それで少し問題を解く方法を考えていると、α＝βでないことが分かるので、設問者が、α＝βでないことを、教えてくれているのです。

すいません、解答の方でα<βとなっていたので、混乱したのですが。問題文でそのように書いてあれば「そうなんだ」で終わったと思います。

＞β＜３６０゜ではなく、β≦２６０度が正確だと思います。β＝３６０度だと、Ａ点がＣ点と重なりますが、これが解でないというのも、計算すると出てくることです。設問者が、ここでも、ヒントを出しているのです。

すいません、それも解答のほうに書かれていたので、これで良いのかなと思いました。出典が入試問題なので、質問者と回答者はちがうとおもいます。

対称のお話とても参考になりました。ちなみに「対称」は仰るとおり同じ条件という意味でつかいました。
どうも有り難うございました！

回答No.3

wolv

題意にあうα，βを求めるのが目的なら，
確かに 360n をつける必要がありますが，
「点B,Cを求めよ」に答えるために，
便宜的にcos,sinを使って表しただけなので，
360度未満の範囲だけ考えれば事は足ります．

α＞βを考えないのは，上と同じ理由です．
α=βは本当は考慮に入れるべきのような気がします．

>ちなみにα<βのように大小関係を設定するのはα,βが対称の時ですよね。
別に，そんな決まりも慣習もありませんよ．出題者や解答者の自由．

「足して５，差が１である二つの数をもとめよ．」
という問題があったら，
「解答：その二つの数をx,yとおく．ただし，x<=yとする．すると，
y-x=1,x+y=5と置けから，これを解いて...」
とやって解くと思いますが，別に対称でもなんでもないですよね．

お礼

＞題意にあうα，βを求めるのが目的なら，
確かに 360n をつける必要がありますが，
「点B,Cを求めよ」に答えるために，
便宜的にcos,sinを使って表しただけなので，
360度未満の範囲だけ考えれば事は足ります．

御返事有り難うございます！そうか、そういうことだったんですね。

＞別に，そんな決まりも慣習もありませんよ．出題者や解答者の自由．

そうですか、ところで、

＞「解答：その二つの数をx,yとおく．ただし，x<=yとする．すると，
y-x=1,x+y=5と置けから，これを解いて...」

このy-x=1は対称じゃないですよね。xとyが入れ替わったら違う値になるし。この問題ではx<=yと設定しない方がいいのかなと思ったのですが。

回答No.2

hikaru_mac

no1のかたの指摘通り、問題に書き間違いが有る可能性が有ります。
点A,Pにかんして。それから、B,Cを(cosα,sinα),(cosβ,sinβ)とおくんですね？

分かる範囲で質問に答えます。

>0≦α<β＜３６０゜となっていたのですが、なぜこうなるのかわかりません。

まず、360nをひっつけても、cosα,sinα,cosβ,sinβの値が変わらないので360nをつけなくてもよいのです。

>まずなぜα<βなのでしょうか？α≦βだと思うのですが。
それと、なぜβ＜３６０゜とかけるのかわかりません。

ですが、上の事からまず、αもβも0から360の間に有るとできます。
それから「α,βが対称の時」のことにかんして納得しているなら次の説明で分かるかもしれません。
「BとCは対称である。」
ただし、0゜≦α<β＜360゜のようにして解いた後、最後に(cosα,sinα),(cosβ,sinβ)はどっちょがBでどっちがCかわからない。というかどっちでもあり得る、と書いておくべきでしょう。
それからα=βに関してですが、気になるのならそれは
0゜≦α≦β＜360゜として解いてもいいとおもいます。
ただ、α=βはたぶん解にはならないでしょう。
問題の解答が無条件でα≠βとしていたのはおそらくBとcが異なる2点であることを暗黙の了解としている為でしょう。

お礼

すいません。書き間違いが有りました。一行目の「動点A」のところ、２行目の「PA^2+PA^2+PC^」のところです。もう一回書き直すと下のようになります。

-----<訂正版>---------
「原点を中心とする半径１の円Oの周上に定点A(1 , 0)と動点Pをとる。円Oの周上の点B,Cで、PA^2+PB^2+PC^2がPの位置によらず一定であるような点B,Cを求めよ。」 という問題なのですが、B,Cをそれぞれ(cosα,sinα),(cosβ,sinα)で表したとき 0≦α<β＜３６０゜となっていたのですが、なぜこうなるのかわかりません。
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＞まず、360nをひっつけても、cosα,sinα,cosβ,sinβの値が変わらないので360nをつけなくてもよいのです。

360nをつける必要のあるときときとつける必要のないときの違いはどこから生まれるんですか？三角関数の問題では、360nをつけなきゃ絶対ダメだって言われたのですが。もしかして、
θ=45のときはこのままでよくて3θ=45のときは3θ=45+360nのようにつける必要があるのですか？θのまえに３などの係数がついているときは360nをつけると考えて良いのですか？

>問題の解答が無条件でα≠βとしていたのはおそらくBとcが異なる2点であることを暗黙の了解としている為でしょう。

最終的に点A,B,Cが正三角形になるということが常識でα≠βなんですか？なぜ暗黙の了解になるのかわからないのですが。すいません、よろしくお願いします。

回答No.1

wolv

> 定点A(1 , 0)と動点Aをとる
> PA^2+PA^2+PC^2

動点に別の記号を使って書き直していただけませんか？
書き間違いなのかどうなのか，よくわかりません．

Bがでてこないし．

お礼

どうもすいません。間違えまくりですね。訂正します。

-----<訂正版>---------
「原点を中心とする半径１の円Oの周上に定点A(1 , 0)と動点Pをとる。円Oの周上の点B,Cで、PA^2+PB^2+PC^2がPの位置によらず一定であるような点B,Cを求めよ。」 という問題なのですが、B,Cをそれぞれ(cosα,sinα),(cosβ,sinα)で表したとき 0≦α<β＜３６０゜となっていたのですが、なぜこうなるのかわかりません。
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