三角関数

質問

半径１の円に内接する正五角形ABCDEの１辺の長さをaとし、α=2π/5　とする。
このとき、次の問いに答えよ。

(1)sin3α+sin2α=0 となることを示せ。
(2)cosα の値を求めよ。
(3)a の値を求めよ。
(4)線分ACの長さを求めよ。

(2)からが(1)で示した式をどう使うのか解りません。
どなたか教えてください。

回答No.2

noname#224896 · ベストアンサー

（１）は加法定理を応用した式使って証明するとして，
sin3α+sin2α
＝2sin(3α+2α)cos(3α-2α)
＝2sin5αcosα
＝0 （∵5α=2π）

ここまではいいんですよね．
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（２）次に，（１）より，
sin3α+sin2α=0が証明されたので，

加法定理より，
sin3α＝3sinα-4(sinα)^3
sin2α＝2sinαcosα
と表せる．
【ここから（１）で証明した式を使います】
よって，
sin3α+sin2α=0
⇔3sinα-4(sinα)^3+2sinαcosα=0
⇔3-4(sinα)^2+2cosα (∵0<sinα<1)
⇔3-4{1-(cosα)^2} +2cosα=0
⇔4{cosα}^2 + 2cosα -1=0
cosα=xと置くと，
4x^2 + 2x - 1 = 0
0<cosα<0即ち，0<x<1より，
x = (√5-1)/4
∴　cosα= (√5-1)/4

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（３）円の中心をOと置くと△AOBについて，
余弦定理より，
a^2 = 1^ 2 + 1^2 - 2・1・1・cosα
上記の式と，（２）で求めたcosαの値を用いて，aを算出します．

（以下，省略）

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（４）円の中心をOと置くと△AOCについて，
求めたいＡＣの線分の長さをbと置くと，
余弦定理より，
b^2 = 1^2 + 1^2 - 2・1・1・cos2α
⇔b^2 = 2 - 2cos2α
⇔b^2 = 2 - 2{ (2cosα)^2 - 1}
上記の式と，（２）で求めたcosαの値を用いて，bを算出すると．
線分ＡＣの長さが求まります．

（以下，省略）
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頑張って下さいね＾＾

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます
がんばります

回答No.1

mister_moonlight

簡単なので、方針だけ。実際の計算は、自分でやって。

(1)　5α＝2π　→　3α＝2π-2π。ここで両辺のsinをとり、3倍角を使うと、出る。
(2)　sinα≠0から　4cos＾2α＋2cosα-1＝0、0＜cosα＜1に注意して解くだけ。
(3)　⊿ＯＡＢに余弦定理。
(4)　⊿ＯＡＣに余弦定理。

お礼

ありがとうございました