虚数

質問

早速なのですが、
３次方程式x^3＋ax^2＋bx＋c＝０・・・・・(1)があり、その１つの解αは、α＝２/１＋iである。(1)の3つの解α,β,γについて、α^3＋β^3＋γ^3＝４が成り立つ時、a,b,cの値を求めよ。
という問題で、条件より、x^3＋ax＋(２a－２)x－２a＋４＝０
解と係数の関係より、α＋β＋γ＝－a　αβ＋βγ＋γα＝２a－２　αβγ＝－２a＋４
これを、α^3＋β^3＋γ^3＝４に代入したら、何度やってもaが２になってしまいます、答えを見ると、－４なんですが、計算ミスでしょうか？また、どこかおかしいところがあるでしょうか？
よろしくお願いします。

Ps 違うやり方はわかります。(解説に載ってたもっとも一般的っぽいやり方)

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1の補足への回答です。

ご質問の中の「条件より」「解と係数の関係より」の式の符号がまちがっています。No.1に書いてある通りに正しくすれば、そのまま同じ方法で計算して　ａ＝-4 となります。

No.1の最後に書いた方法を解説します。

(1)まず、y = x^3＋ax^2＋bx＋c のグラフを考えるとわかると思いますが、これは必ずx軸と交わります。つまり、x^3＋ax^2＋bx＋c=0 には必ず実数解があります。実数解をγとします。

(2)αβγ = -c です。cは実数、γは実数だから、αβは実数です。
(3)α＋β＋γ= -a です。aとγは実数だから、α＋βは実数です。
(4)α=1-iです。β=p+qi とおきます（p,qは実数）。α＋βは実数だから、q=1です。
(5)α=1-iです。αβは実数だから、p=qです。q=1だったので、p=1 です。よって、β=1+i。
(6)いま求めたαとβを　α^3＋β^3＋γ^3＝４に代入するとγ=2 です。
(7)α＋β＋γ= -a より、a = -4 です。

お礼

ありがとうございました、
大体わかりました。

回答No.1

shkwta

＞　α＝２/１＋i
これはα＝2/(1+i) の意味ですか？その場合、α＝1-i なので b=-2a-2, c=2a+4 となるはずです。
あと、解と係数の関係で符号が逆です。c = -αβγ　です。

＞違うやり方はわかります。(解説に載ってたもっとも一般的っぽいやり方)
「違うやり方」とは何でしょうか。↓こういうのでしょうか？
実数を係数とする３次方程式なので、実数解がある。実数解をγとすると、αβとα＋βは実数なので、β=1+i。そこでα^3＋β^3＋γ^3＝4 よりγ=2 ⇒α＋β＋γ=4 ⇒ a = -4

補足

すいません、細かいうちミスですね・・・・
結局、考え方はいいのでしょうか？

＞違うやり方～～～
因数分解して、x＝－a－２,１±i　とだして、代入するやり方です。
説明不足で申しわけありません。
それと、shkwtaさんが、示してくれたやり方はどうやってやるのでしょうか？(どういうことでしょうか？)