数学の問題

質問

解き方について質問です

問題は
２次方程式ax^2-x+2a-3=0が
-1≦x≦2の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
です

この問題の場合分けなんですが
(①)a＞0の場合
１)一つの解が-1≦x≦2の間にあり、もう一つの解がx≦-1、又は2≦xにある場合

２)解が二つとも-1≦x≦2の間にある場合

３)解が重解で-1≦x≦2の間にある場合

(②)a＜0の場合
１)一つの解が-1≦x≦2の間にあり、もう一つの解がx≦-1、又は2≦xにある場合

２)解が二つとも-1≦x≦2の間にある場合

３)解が重解で-1≦x≦2の間にある場合

で合っているでしょうか？
わかる方
教えてください！！

回答No.1

mister_moonlight

そんなに複雑な場合分けなんかいらないよ。

a＝0の時、x＝-3から、不適。
a≠0の時、aで両辺を割って、1/a＝kとすると、方程式は、x＾2-kx＋2-3k＝0となる。
ここから、解法はいろいろある。

（解法-1）

f（x）＝x＾2-kx＋2-3k＝0　が、-1≦x≦2の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの条件として求める。
2つある場合と、1つある場合の　2つの場合がある。別に、重解を分ける必要もない。

（解法-2）

x＾2-kx＋2-3k＝0　→　x＾2＋2＝k*（x＋3）として、放物線：y＝x＾2＋2と直線：y＝k*（x＋3）が　-1≦x≦2に少なくても1つの交点を持つ時のkの値の範囲を求める。
直線が、常に点（-3、0）を通る事に注意。

（解法-3）

2つの解をα、βとすると、解と係数の関係から、α＋β＝k、αβ＝2-3kからkを消すと、αβ＋3（α＋β）＝2　→　（α＋3）*（β＋3）＝11。
これをαβ平面上で、-1≦α≦2　-1≦β≦2の範囲で図示する。
その上で、α＋β＝kより　直線：β＝-α＋k　を動かして、切片kの値の範囲を求める。
傾きが　-1　だから、それを上下に動かすと直ぐ分かるだろう