【高次方程式】

質問

【高次方程式】

四次方程式、X^4＋aX^3－X^2＋１=０について考える。ただし、aは実数とする。
(1)Ｘ=X＋1/Xとすると、Ｘのとり得る値の範囲を求めよ。ただし、Xは0でない実数とする。

(2)上の四次方程式が二個の正の解をもつとき、aの値の範囲を求めよ。重解は含む。

(3)上の四次方程式が重解をもつときのaの値とその重解を求めよ。

(1)番からつまづいてます…不等式が与えられていないのに、範囲が出るのか疑問です…

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

「XとＸ」は紛らわしいので「xとX」(小文字と大文字)を使うか、z=x+(1/x)のように別の文字を使ってください。式中の文字や記号ははギリシャ文字などを除き半角文字を使ってください。

x^4＋ax^3-x^2+1=0

(1)紛らわしいのでＸをzで置き換えz=x+(1/x)とすると
xを掛けて移項して
x^2-zx+1=0
xの実数条件から
判別式D=z^2-4=(z-2)(z+2)≧0
∴z≦-2 または z≧2
と範囲がでてくるじゃないですか？

(2)
y=f(x)=x^4＋ax^3-x^2+1とおくと
f'(x)=x(4x^2+3ax-2)
x=0で極大値1,極小値を与えるxはf'(x)=0から出ます。
x=(-3a±√(9a^2+32))/8（x1,x2とおく。ただしx1<0<x2）
x2=(-3a+√(9a^2+32))/8
求める2個の正の解を持つ条件は
f(x2)≦0　（重解を2個と数える）
重解を1個と数えるなら等号は除く。

これからaの範囲がでます。
a≦-0.9377738…

これは数値計算で求めていますが(1)の置換を使えば理論値が出てくると思います。

(3)
f(x1)=0またはf(x2)=0から
a=±0.9377738…

回答No.2

noname#113983

これだとXの見分けつきにくいぞ。だからx^4＋ax^3－x^2＋１=０において
K=x＋1/xとして考えるよ。
xは正の実数もしくは負の実数いずれかだからx>0のとき
相加平均相乗平均からK≧2 またx<0のとき同様にしてK≦-2
ということはKの範囲はK≦-2もしくはK≧2
あとは自分で

回答No.1

koko_u_u

>(1)番からつまづいてます…不等式が与えられていないのに、範囲が出るのか疑問です…

例えば、Y = X^2 とすると、Y の取り得る範囲を求めよ。というのと同じです。