多変数関数の問題がわかりません．

質問

1．条件g(x,y)=x^2+y^2-1=0のもとで，2変数関数f(x,y)=x^2+xy+y^2+5の最大値と最小値，また，f(x,y)が最大，最小となる(x,y)の値を求めよ．
２．F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)に対する,∂F/∂x=∂F/∂y=0 (x,y)≠(0,0)の解をもつλの値を求めよ．
という問題です．

解き方がわからないので，教えてほしいです

回答No.3

alice_44

連立方程式
x^2 + y^2 - 1 = 0,
f = x^2 + xy + y^2 + 5
が実数解を持つような f の範囲を求める。

(x, y) = (cos t, sin t) で
パラメータ表示する方法と、

f = xy + 6 から
(x + y)^2 と (x - y)^2 がどちらも非負
になる範囲を求める方法が

あるかと思う。

回答No.2

spring135

1．条件g(x,y)=x^2+y^2-1=0のもとで，2変数関数f(x,y)=x^2+xy+y^2+5の最大値と最小値，また，f(x,y)が最大，最小となる(x,y)の値を求めよ．

ラグランジェの未定乗数をλとすると条件g(x,y)=0のもとで関数f(x,y)が極値をとるのは関数

F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)

について

1)∂F/∂x=0
2)∂F/∂y=0
3)∂F/∂λ=0

が成り立つ場合である。

1）より

2x+y-2λx=0 (1)

2)より

2y+x-2λy=0　　(2)

3)より

x^2+y^2-1=0　(3)

(1),(2)より

(x-y)(1-2λ)=0

1)x=yのとき(3)に代入して

x=y=±１/√2

この時fは最大値13/2をとる。（グラフを描けば分かる。または受験数学）

2）λ＝1/2のとき(1)または(2)よりy=-x

(3)よりx=1/√2,y=-1/√2
またはｘ＝-1/√2,y=1/√2

この時fは最小値11/2をとる。

２．F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)に対する,∂F/∂x=∂F/∂y=0 (x,y)≠(0,0)の解をもつλの値を求めよ．

∂F/∂x=∂f(x,y)/∂x-λ∂g(x,y)/∂ｘ=fx-λgx=0 λ=fx/gx

∂F/∂y=∂f(x,y)/∂y-λ∂g(x,y)/∂y=fy-λgy=0 λ=fy/gy

∂F/∂λ=-g(x,y)=0

λ=fx/gx=fy/gy,

fx/gx-fy/gy=0

よって

∂(f,g)/∂(x,y)＝0,g(x,y)=0

をみたす解(x,y,λ)が存在する。

補足

回答ありがとうございます．
極値を求めるときの，「x=yのとき」や「λ＝1/2のとき」というものはどこから出てきたのでしょうか？
λ＝1/2のときというのは(x-y)(1-2λ)=0 (（x,y)≠(0,0)なので）からだと思うのですが，x=yのときというのはどうやって考えるんでしょうか？
お手数ですが回答いただければうれしいです

回答No.1

info22_

設問2があるということは
参考URLの「ラグランジュの未定乗数法」を使う問題ですね。
解答つき例題もありますのでやってみてください。
設問2をやれば、停留点（極値を与える点の座標）とf(x,y)の極値がでます。

設問1については
条件g(x,y)=x^2+y^2-1=0から(x,y)は半径1の円周上の点なので
-1≦x≦1,-1≦y≦1なのでf(x,y)=x^2+xy+y^2+5は上限と下限が存在し、かつx,yについて連続な関数であるから、f(x,y)の最大値は設問2のラグランジュの未定乗数法で求められる極値の極大値の中の最大のものになる。またf(x,y)の最小値は設問2から求められる極値の極小値のなかの最小のものになります。

まずは参考URLをみてやってみて補足にお書きください。分からなければ途中計算を書いて補足で質問して下さい。

参考URL：

http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm