次の三角関数の問題の解き方を教えてください。

質問

xが実数、y>=0で、x^2+y^2=2の時、

x^3+y^3-3xy

の最大値、最小値を求めよ。

三角関数を使うと思うのですが、

お願いします。

回答No.5

staratras

三角関数を使わなくても解けます。

(x^2+y^2)(x+y)=x^3+y^3+(x+y)xy …(1)

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy …(2)

x^2+y^2=2 （y≧0)…(3)

(3)を(2)へ代入すると　(x+y)^2=2+2xy だから
xy=((x+y)^2-2)/2 …(4)

(3)(4)を(1)に代入すると　
x^3+y^3=-(x+y)^3+3(x+y) …(5)

(4)(5)より
x^3+y^3-3xy=-1/2(x+y)^3-3/2(x+y)^2+3(x+y)+3

x+y=k とおくとx^3+y^3-3xy=f(k)=-1/2k^3-3/2k^2+3k+3 …(6)

ここで(3)より－√2≦k≦2となるのでこの範囲でf(k)の増減を考える

kで微分すれば、f'(k)=-3/2k^2+3k+3　
f'(k)=0　よりk=-1±√3
　-1-√3<-√2<-1+√3-1<2であり、f(-√2)＝-2√2、f(-1+√3)=3√3-1、f(2)=-1 である。
またx+y=-1+√3 のとき　(3)と連立させて解くと(x,y)=((1-√3-√√12)/2,(√3-1+√√12)/2)
同様にx+y=-√2のとき(x,y)=(-√2,0)

したがってx^3+y^3-3xyの最大値は　3√3-1　このとき(x,y)=((1-√3-√√12)/2,(√3-1+√√12)/2)
最小値は　-2√2　このとき　(x,y)=(-√2,0)　　ただし√√12は12の4乗根を表わす。

下の左側の図は(3)のグラフで、－√2≦x+y≦2となることを示します。
右側の図は(6)のグラフです。

回答No.4

info222_

>三角関数を使うと思うのですが、

そう思うのであれば
　x=√2 cos(t), y=√2 sin(t) (0≦t≦π)とおいて解いてみてください。
与式=2√2 {(cos(t))^3+(sin(t))^3}-6cos(t)sin(t)
となるので、
(cos(t))^2+(sin(t))^2=(cos(t)+sin(t))^2-2cos(t)sin(t)=1
の関係から cos(t)sin(t)=(1/2)(cos(t)+sin(t))^2-(1/2)
を使って与式をu=cos(t)+sin(t)=√2 sin(t+π/4)の関数f(u) (-1≦u≦√2)に整理して
f(u)の増減表を作り、最大値、最小値を求めてみて下さい。

別解として
参考URLのラグランジュの未定乗数法を使って解いてもいいでしょう。

いずれの解法でも(答)は次のようになります。
x=-√2, y=0 のとき最小値-2√2,
x=(√3-1-√2*3^(1/4))/2, y=(√3-1+√2*3^(1/4))/2 のとき
　最大値 3√3 -1。

参考URL：

http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

三角関数使う解法が分からなかったため、別の方法で解きました。
大雑把な流れを書いておきます。
計算が多いため、ミスがあるかも知れません。

x^2+y^2=2 (y>=0) ...(1)
α=x+y, β=xy とおくと、(1)から、
β=1/2*α^2-1
又、αの取りうる範囲は、-√2<=α<=2

K=x^3+y^3-3xy とおくと、
K=2α-β(α+3)
=-1/2*α^3-3/2*α^2+3α+3
-√2<=α<=2 の範囲で、Kの増減を調べると、
α=-√2のとき、K=-2√2で最小、
α=-1+√3のとき、K=-1+3√3で最大となる。

回答No.2

spring135

＞xが実数、y>=0で、

x^2+y^2=2　　　　　　(1)

x=(√2)cos(t), y=(√2)sin(t)とおくと(1)は自動的に満たされる。

y≧0より

0≦t≦Π　　　　　　　　(2)

とする。

ｚ＝x^3+y^3-3xy＝(2√2)cos^3(t)+(2√2)sin^3(t)-3*2cos(t)sin(t)

=(2√2)(cos^3(t)+sin^3(t))-6sin(t)cos(t) (3)

三角関数の性質を用いてこの式を整理する。

u=sin(t)+cos(t)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

とおくと

sin^2(t)+cos^2(t)=1

より

u^2=1+2sin(t)cos(t)

sin(t)cos(t)=(u^2-1)/2　　　　　　　　　　　(5)

u^3=sin^3(t)+3sin^2(t)cos(t)+3sin(t)cos^2(t)+cos^3(t)

sin^3(t)+cos^3(t)=u^3-3sin(t)cos(t)(sin(t)+cos(t))

=u^3-3[(u^2-1)/2]u ((4),(5)を用いる）

=-u^3/2+3u/2 (6)

(5),(6)を(3)に代入し、整理すると

z=-√2u^3-3u^2+3√2u+3 (7)

(2)より0≦t≦Πであって、この範囲で(4)よりu=sin(t)+cos(t)の変域は

-1≦u≦√2 (8)

従って(8)の変域を持つuの関数としてのzの変化を調べればよい。

極大、極小は

dz/du=-3√2u^2-6u+3√2=0　　　(9)

すなわち

u=(-√2±√6)/2　　　(10)

で生じる。

以下、増減表を書いて正確にz=f(u)=-√2u^3-3u^2+3√2u+3のグラフを書くこと。

そのグラフの(8)の範囲において最大、最小を求めればよい。

最大はu=(√6-√2)/2のとき、最大値は3(√6-√2)/2+2

最少はu=-1のとき、最小値は-2√2

ただし計算間違いの可能性あり

回答No.1

Tacosan

そう思うなら実際にやってみてはいかがでしょうか?