二次関数

質問

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

実数x,yの関数P=x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5について
(1)Pの最小値とそのときのx,yの値を求めよ。
(2)|x|≦2,　|y|≦2のとき、Pの最大値・最小値とそのときのx,yの値を求めよ。

(1)はできたのですが、(2)がわかりませんでした。
|x|≦2,|y|≦２すなわち、-2≦x≦2,　-2≦y≦2のとき
-3≦y-1≦１、　-１≦x-y+3≦7
次の
0≦(y-1)^2≦9,0≦(x-y+3)^2≦49
のところがわかりませんでした。
いきなり[0]が出てきて混乱しています。

教えてください
よろしくお願いいたします。

回答No.6

take_5

＞(1)はP=x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5を＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8にして、4(y-1)^2-8の部分だけ注目してy=1のとき8 y=1だとわかったのでx-y+3＝0　x=-2と出しました。
＞x-y+3=0 でなぜ0なのかは、ほとんどの問題で0にしているからです。

この問題は、（1）も基本的には“2変数の問題”なんだが、（2）を考えなければ、判別式を（2回）使って解くことも出来る。

素直に、“2変数の問題”として考えてみよう。

Ｐ＝x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5＝{}x-（y-3)}^2+4(y-1)^2-8
xとyに値の条件がないので、ここでxを変数、yを一時定数と見ると、Pは下に凸のxの2次関数だから、x＝y-3で最小値：4(y-1)^2-8をとる。
そこで、yを変数に戻すと、4(y-1)^2-8は 下に凸のyの2次関数でy＝1の時、最小値-8となる。
従って、Ｐの最小値は-8で、そのときy＝1、x＝y-3＝-2の時である。

この解法は（2）でも使える。
但し、|x|≦2,　|y|≦2　では面白くないので、1≦x≦2、3≦y≦4でやってみると良いだろう。

＞最小値は(1)で出たのを使い、yの範囲が-2≦y≦2なのでyの最大値は-2であるので、y=-2とやってもよいのでしょうか。

こんな都合のいいことにはならないだろうから。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になります。

回答No.5

take_5

＞(1)はP=x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5を＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8にして、4(y-1)^2-8の部分だけ注目してy=1のとき8 y=1だとわかったのでx-y+3＝0　x=-2と出しました。
＞x-y+3=0 でなぜ0なのかは、ほとんどの問題で0にしているからです。

これでは、答えにならない。

P＝x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8　ここまでは良い。それ以降が駄目。

x,yが実数から、(x-y+3)^2≧0、4(y-1)^2≧0、従って、P＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8≧-8.
等号は、y-1＝0、x-y+3＝0の時。

（2）については、変数がxとyの2つあるから、所謂“2変数の問題”として考えるのがorthodoxだが、
質問の方法は巧妙な“変数変換”の問題としている。

P＝x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8　
x-y+3＝a、y-1＝bと置くと、P＝a＾2＋4b＾2-8として、-1≦a≦7と、-3≦b≦1より、
0≦a＾2≦49、0≦4b＾2≦36であるから、0≦a＾2＋4b＾2≦85より、0≦Ｐ＋8≦85。　故に　-8≦Ｐ≦77となる。
そして、等号は？

と、いう解法になっている。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になります。

回答No.4

take_5

＞(1)はできたのですが
＞最小値は(1)で出たのを使い、yの範囲が-2≦y≦2なのでyの最大値は-2であるので、y=-2とやってもよいのでしょうか。

本当に、（1）もできたんだろうか？
解法を書いてみて。話はそれからだ。

苦労しそうだな。。。。。。笑

補足

(1)の解答はNo3に今書きました。

はい。すでに苦労してます(/_;)（泣）
やはり、私が解くには早かったかもしれません

回答No.3

info22

> (1)はできたのですが、
できたのなら(1)の解答を補足に書いて下さい。

(2)
(1)の最小値を与える(x,y)が
> -2≦x≦2,　-2≦y≦2
に入るので(2)の最小値は同じ。
最大値は、最小値を与える(x,y)の点から最も遠い(2,-2)の点で最大値となります。最大値=77です。

なお、最大値を与える候補となる点（x,y）は(±2,±2)の4点で最小値の点から最も遠い点の(x,y)で最大値をとるわけです。

補足

回答ありがとぅございますo

(1)はP=x^2-2xy+5y^2+6x-14y+5を
＝(x-y+3)^2+4(y-1)^2-8にして、4(y-1)^2-8の部分だけ注目してy=1のとき8 y=1だとわかったのでx-y+3＝0　x=-2と出しました。
x-y+3=0 でなぜ0なのかは、ほとんどの問題で0にしているからです。

y=1,x=-2のとき8としました。。

(2)ありがとうございます。
やってみたいと思います。

回答No.2

take_5

＞＞　-3≦a≦1の範囲での、k＝a＾2のグラフを書けばすぐわかるだろう。kを通常のy軸、aを通常のx軸にとれば良い。
＞すごく難しくてお手上げですぅ。。

これで理解できないのであれば、貴方には理解不能の問題です。
あきらめたほうが良いでしょう。

お礼

まだまだこの問題を解くには早かったですね><
でも、絶対に解けるようになります。

ちょっとお聞きしたいことがあります。
最小値は(1)で出たのを使い、yの範囲が-2≦y≦2なのでyの最大値は-2であるので、y=-2とやってもよいのでしょうか。

たびたびすみません。。

回答No.1

take_5

y-1＝aとすれば、(y-1)^2＝a＾2であるから、-3≦y-1≦1　即ち　-3≦a≦1の範囲での、k＝a＾2のグラフを書けばすぐわかるだろう。
kを通常のy軸、aを通常のx軸にとれば良い。

0≦(x-y+3)^2≦49も同じ理屈。

補足

ありがとうございます。
申し訳ありません・・
すごく難しくてお手上げですぅ。。