2変数の最大、最小について

質問

数学の問題でわからない問題があるのですが、よければ教えてください。

x,yが実数のとき、
x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2の最小値を求めよ。

xとyについて平方完成して
x=3,y=-1/5のとき最小値-62/5と出たんですが、どうやら違うようなのです。

よろしくお願いします。

回答No.3

mistery200

偏微分をつかいます。
δf/δx=0より
２ｘ＋４ｙー６＝０・・・(1)
ｘ＋２ｙ－３＝０・・・(2)
δf/δｙ=0より
１０ｙ＋４ｘ－４＝０・・・(3)
２ｘ＋５ｙ－２＝０・・・(4)
(2)と(4)より
ｙ＝－４、ｘ＝１１
ｆ＝１２１＋８０－１７６－６６＋１６－２
　＝２１７－２４４
　＝ー２７

回答No.2

take_5

とりあえず解法は2つ。

（解法-1）

Ｐ＝x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2＝x^2＋2（2y-3）x＋（5y^24y-2）＝{x+（2y-3）}＾2＋（y+4）＾2-27。
x,yが実数から、{x+（2y-3）}＾2≧0、（y+4）＾2≧0より、Ｐ≧-27.　この時（x、y）＝（7、-4）

（解法-2）
x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2＝kとして、xの方程式と見ると、x^2＋2（2y-3）x＋（5y^24y-2-k）＝0‥‥(1)　が実数解を持つから、判別式≧0.
計算すると、y＾2＋8y-（k＋11）≦0‥‥(2)　yが実数から判別式≧0.
従って、k≧-27.‥‥(3)　この時(1)～(3)より（x、y）＝（7、-4）。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます！
早速やってみます。ありがとうございました！

回答No.1

proto

平方完成が間違っているだけで、解き方の方針はそれで良いみたいですよ。

試しに平方完成してみましたが、最小値をとるx,yの値も最小値も質問者様とは別の値になりました。
x,y,最小値ともに全て整数になったので、そうなるように上手く問題が作ってあるっぽいです。
もう一度ゆっくり解きなおしてみてください。

お礼

そうなんですか(汗)
もう一度やってみます。どうもありがとうございました。