総和の計算。

質問

こんばんは。

問題についてはpdfでupしてあります。
お手数ですが、宜しくお願いします。

式(1.1)から式(1.2)への導出が分かりません。
式(1.1)のf(x)に、問題文で示されたf(x)を代入して解いていけばいいのでしょうか？

そうすると総和（Σ）が2つ出ると思うのですが
（Σk=1,nとΣn=1,∞）、
その先どのように計算していけばいいかが分かりません。

もしかしたら、そこまで自体が間違ってるのかもしれませんが^^;

ヒントの方をどなたかお願いしますm(_ _)m

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。

>ただ一つ疑問なのですが、
>証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、
>整理する際に
>Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、
>式中のnは全てkと置き換え（n=kとする）ました。

いけません。
まず、f(x)をフーリエ級数展開した式ではΣm=1,∞と文字を変えて置くべきでしょう。前のΣで文字nが使われていますので避けたほうがよい。

次に、(1,2)でn→∞とした極限が求める式ですので(1,2)と証明する式はそのままでは一致しません。
Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・}
では、m=k以外の項が全て0になりますので
Σ[k:1→n]Σ[m:1→∞]{・・・}=Σ[k:1→n]{・・・でm=kとしたもの}
と変形することはできます。
このように変形してからn→∞の極限をとればよいでしょう。

お礼

上記の方法でやっていったところ、解決しました。

2回にわたっての回答、ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

(1.1)の式にf(x)をフーリエ級数で表した式を代入すれば出てきます。

確かにΣが二つ出てきますが問題ありません。
一つの項を除き全て"0"になります。

実際に
∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx
と
∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx
と
∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx
を計算してみてください。

お礼

見づらい問題ながら、回答ありがとうございます。

>実際に
>∫[x:-π→π]cos(mx)cos(kx)dx
>と
>∫[x:-π→π]sin(mx)cos(kx)dx
>と
>∫[x:-π→π]sin(mx)sin(kx)dx
>を計算してみてください。
上から
m=kのとき"π"、
mとkの関係を問わず"0"、
m=kのとき"π"、
でよろしいでしょうか？

実際に代入して解いていくと、次の項が残りました。
cos(nx)cos(kx)、sin(nx)sin(kx)
これらの項を和・差に直し、整理した結果答えに辿りつけました！

ただ一つ疑問なのですが、
証明すべき右辺の総和はΣn=1,∞なので、
整理する際に
Σk=1,nとΣn=1,∞をΣk=1,∞と一つにまとめ、
式中のnは全てkと置き換え（n=kとする）ました。

このような総和の統合（？）を行っても良かったのでしょうか…？