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lim[n→∞]Σak・区分求積法について
画像のことで質問があります。 『(2k-1)/2n ≦ck≦ 2k/2n』 で長方形の幅1/2nとみなしていると思ったのですが、なぜΣの前に1/2を出して長方形の幅1/nとしているのでしょうか。 確かに、ckが『(2k-1)/2n ≦ck≦ 2k/2n』を満たす時、範囲を広げて、『(2k-2)/2n ≦ck≦ 2k/2n』も満たすのはわかります。その時ckの範囲の横幅が1/nになり、①のような式になるのはわかるのですが、そうなると横幅をコロコロ変えれてしまい、計算が合わなくなるのではと思いました。 質問の問題とは全然違うのですが、 lim[n→∞]Σ[k=1〜n] f((2k+1)/n)•1/n を考える際に、 f((2k+1)/n)部分はk=1,2,3..を入れていくと、f(x)にx=3/n,5/n,....代入していることになるので、長方形の横幅2/nとして、式変形をし、 lim[n→∞]Σ[k=1〜n] f((2k+1)/n)•1/n = 1/2∫[0〜2]f(x)dx のように長方形の横幅は1/nとは限らないですし、今回もそうだと思ってしまいました。 私が間違えているということはわかっているのですが、自分で解決できません。 画像の字が小さくてすみません。
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- maskoto
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何箇所か間違ってません？ 1/logn•Σ[n→2n]log(k/n)/k •1/n だと、元の式の1/n倍になってるようで イコールではないし 仮に、ここが正しいとしても n→∞とすると、 Σ[n→2n]log(k/n)/k •1/n は、x座標がk/nである のだから k/n＝xより log(k/n)がlogxにかわる 1/nは短冊の横幅 すると1/kがあまる →積分に直しようがない なお、これも仮に正しいとして n分割に対して、高さがn+1個なら 区間の左端か、または右端に短冊を一つ追加して、短冊n+1個の面積の和を考えます n→∞なので 短冊１個の面積は非常に小さいものとなります したがって、短冊が１個くらいに増えても結果に差はでません つまり、limΣ(k＝n〜2n)… は、 limΣ(k＝n+1〜2n) として計算しても結果は同じと言う事になります ただし、今回の問題では区分求積法がうまくいかなそなので ハサミウチ 的な方法で求めるべきかもしれません
- maskoto
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幅1をn分割で解けるのですが、[n〜2n]だと、n+1個の高さということになるのでしょうか →→→具体的にどのような式にしたのか、よくわかりません…
- maskoto
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分かりにくいと思うので 冒頭部分修正しました… 画像の2行目の式は 幅1の区間を2n分割にしているので この区間に、横幅1/2nの短冊が2n個あると言う状態 (n→∞を考えるので短冊は縦長の長方形と考えられる) もし、Σ(k＝1〜2n)となっていれば これら2n個の各短冊に対応する高さf'(Ck)が2n個あることになり、このΣの式は この幅1の区間に存在する 縦長短冊、2n個の面積の和となるわけだが …以下第一回答に続く
補足
修正していただきありがとうございます。 わかりやすかったです。ありがとうございます。
- maskoto
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画像の2行目の式は 幅1の区間を2n分割にしてる もし、Σ(k＝1〜2n)となっていれば これらの幅に対応する高さf'(Ck)が2n個あることになり、このΣの式は この幅1の区間に存在する 長方形(横幅1/2nの縦長短冊)2n個の面積の和となるわけだが Σ(k＝1〜n)となってるので 長方形の高さがn個しか無く、足りないわけです すると、高さ不明の長方形がn個あることになり それはつまり、2行目の式では幅1の区間にあるすべての短冊の面積の和は表してはいないということ そこで、最終行のように変形して 区間の分割個数と高さの個数を一致させ 高さ不明の短冊が無いようにしてるわけです →だから、貴方の 横幅をコロコロ変えられ… という心配は当たらない！ 後半の質問も同じです lim[n→∞]Σ[k=1〜n] f((2k+1)/n)•1/n ＝lim[n→∞](1/2)Σ[k=1〜n] f((2k+1)/n)•2/n とみて幅2の区間をn分割して n個の短冊に対してn個の高さがあると言う 意味から 短冊の面積の総和は 横幅を限りなく0に近づけると = 1/2∫[0〜2]f(x)dx
補足
返答していただきありがとうございます。 丁寧に説明していただき大変嬉しいです。 返信が大変遅くなりすみません。 Σ[k=1〜n]だからということですね。確かに長方形(短冊)を考えるので、縦(高さ)と横の個数は合わせないといけませんよね... すみません。それなら..と、もう一つ疑問に思ったのですが質問してもよろしいでしょうか。 Σ[k=n〜2n]などの時はどのようにしたらいいのでしょうか。 画像の問題とは違うのですが、(文字で打った式ですので、読みづらくすみません) lim[n→∞]1/logn Σ[n〜2n](logk)/k を求める時に、幅1をn分割で解けるのですが、[n〜2n]だと、n+1個の高さということになるのでしょうか。
補足
返答していただきありがとうございます。 わかりづらくてすみません。計算過程を書きます。 lim[n→∞] 1/logn•Σ[n→2n]logk/k Sn=1/logn•Σ[n→2n]logk/kとすると、 Sn=1/logn•Σ[n→2n]{log(k/n)+logn}/k =1/logn•Σ[n→2n]log(k/n)/k •1/n +Σ[n→2n]1/(k/n) •1/n とし、 n→∞とすると、 Σ[n→2n]log(k/n)/k •1/n →∫(1→2)1/x dx=log2 1/logn•Σ[n→2n]1/(k/n)•1/n →0•∫(1→2)logx/x dx =0 よりlim[n→∞]Sn=log2 となるのですが、幅1をn分割していますが、Σ[n→2n]で短冊の高さの個数がn個ではないのですが、いいのでしょうか。