編入試験の過去問より

質問

こんにちは、某国立大学で今年編入試験を受ける予定のものです。
物理の問題でわからない問題があったので質問させていただきます。
問題は：図１のように、半径a[m]の無限に長い導線がx=0,z=h[m](h>a)
に沿っておかれている。導線には線電荷密度+РL[C/ｍ]の電荷が存在
する。z=0面は電位V＝０[V]の導電面であり、z>0の空間は比誘電率
εrの誘電体で満たされている。
a) P(0,0,z)点における電束密度を求めなさいという問題で、
半径h-zの円柱の側面の長さ1[m]の部分から電束が出ていると考えて
自分で考えたところРL/2π(h-z)となったのですがあっていますか？
あと、d)導線-導電面間の単位長さ当りの静電容量Cを求めなさいという
問題が全然わかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra

>a) P(0,0,z)点における電束密度を求めなさいという問題で、
>半径h-zの円柱の側面の長さ1[m]の部分から電束が出ていると考えて
>自分で考えたところРL/2π(h-z)となったのですがあっていますか？

円柱の側面で電束密度が全方向で一様になっているのであればその解き方でよいのですが、この場合、z=0の面にV=0の導電面があるためそうはなりません。z=0の面に電荷が誘導され、さらにその誘導された電荷が作り出す電界の影響で導線上の電荷分布に偏りが生じてしまいます。

スカラーポテンシャルφを導線の軸として円筒座標で表して(θ=0の方向をz軸の負の方向にとる)、ラプラス方程式を解き、境界条件から計算することになります。
境界条件としては、
(1)r=aでφ:一定
(2)rcosθ=hでφ=0
(3)単位長さ当たりの電荷密度についてガウスの法則を満たすこと
から求めればよいでしょう。

電気鏡像法でも解けなくはないと思います。簡単な式にはなりませんが。
(導線上に電界が一様分布しているものとして平面における導線の鏡像電荷を求める。さらに、その鏡像電荷に対して導線における鏡像電荷を求める。これを繰り返した無限級数を求めることになる。)

d)電束密度が計算できれば、電界は簡単に求めることができます。
電界をz=0からh-aまで積分すれば電位差を求めることができます。

お礼

どうもありがとうございました！！！
もう少し頑張って見たいと思います！！