半径rの球面についてガウスの法則を適用する。
ここで、球の対象性から電気力線は動径方向に出て、大きさはrのみに依存するので、
r≧aのとき
∬En ds＝ E(r)(4πr^2)＝4/3πa^3p/εよってE(r)=a^3p/3εr^2
0<r<aのとき
右辺＝E(r) (4πr^2)
左辺=4πr^3p/3ε
よって E(r) = pr/3ε
よって電位差Va＝V∞→a＝∫(a,無限）E(r)dr= a^2p/3ε
V0=Va→0＋Va=∫(0,a) E(r) dr+a^2p/3ε=-pa^2/6ε＋pa^2/3ε
=pa^2/6ε
計算間違いしてなければこんな感じだと思います。書き方はあまりうまくないですが、参考までに。
方針としては１、まずガウスの法則で電場を外と中でそれぞれ求めるとrの関数になります。
そして、２、で∞遠方の電位を０としてそこから中心の電位を計算します。このときに外と中で電場の関数が違うので分けて計算する必要があります。
ガウスの法則ですが、元々は「閉曲面から出る電場（電気力線）の合計は中の電荷/εになる」ということを言っているのできちんと定義を確認してください。このとき、閉曲面は任意の場所、形で取れるのですが、この場合球の対象性に注意して半径ｒの球状にとるとEがrの関数のみであらわせることからこのように
計算します。ここで、rがaより大きいときは閉曲面内部の電荷が一定、つまり電荷＝電荷密度×半径aの球の体積ですが、aより小さいときは電荷＝電荷密度×半径rの球の体積となり球もrに依存して小さくなります。ここで右辺は任意に決めた閉曲面の面積ですから同じです。やや発展として体積電荷密度がrに依存する場合はこの囲んだQを求める過程で∫で計算してやる必要があります。また、右辺の∫を簡単にE×表面積とできるのがまさに対称性を利用して閉曲面をとったことによります。極端に言えは立方体のような閉曲面をとってもいいのですが、それだと対称性がつかえないので、Eが求まりません。つまり、ガウスの法則でEが求まるのは対称性をうまく利用できる場合の特殊なパターンであるといえます。
計算の方針は合っていると思いますが、まだ私も学習者の身ですから説明などに間違いの指摘があるかも知れないと付け足しておきます。
