電磁気学の問題で質問です。

質問

編入試験の過去問のため、解答がありません。

1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。
　　球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求　　めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。

　　よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ　　　ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ　　　　ね？というわけで、区間が分からないです。

2.　半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、　　線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。
　　1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし　　　て求めよ。
　　2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。
　　3)円筒内を電位φを求めよ。

　　上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対　　しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ
　　さい。

以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします。

回答No.2

Quarks

接地（アース）について。２つの意味があります。

(1)本来は、文字とおり、地球に接続してあるという意味です。
そして、これは、"電位が０である"状態とされることが多いのです。
ご承知のように、電位の基準点は任意に決定できますから、地球の電位をいくつに決めても構わないわけです。

(2)地球は、電荷の配給元です。地球は膨大な電荷（実質的に無限大量の電荷）を持っているものとして扱われます。物体を接地することは、その物体に必要なだけの電荷が供給されることを保証していることを意味しています。
問題２のように、円筒を接地すると、円筒には地球から電荷が供給されることになります。地球は無限の電荷を持っていますから、円筒に電荷が供給されても地球の電荷が減るなどということは考える必要がありません。必要なだけ円筒には電荷が供給されるのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Quarks

１　積分して求める方法もありますが、状態が対称的なので、ガウスの法則を使うと簡単です。
r>aの場合：ガウスの法則によれば、球の電荷がすべて球の中心に集まったときと同じに扱って良いのです。
これは、点電荷が作る電場として考えて良いことを意味していますから
Ｕ=k・Q/r
です。kはクーロンの法則の定数で　1/(4πε)です。Ｑは球全体の電荷ですから
Ｑ＝ρ・(4πa^3)/3　ですね。
Ｕ＝ｋ・ρ・(4πa^3)/3・(1/r)

r<a の場合：こちらもガウスの法則を適用します。電荷分布が一様ですから、中心からの距離ｒの内部にある電荷だけを考えれば良いのです（ｒより外側の電荷の寄与は０です）。
Ｕ'＝ｋ・q/r＋U0
ｑは中心からの距離ｒの内部にある電荷です。U0は、後ほど。
ｑ＝ρ・(4πr^3)/3　です。
さてU0ですが、これはr=aの地点で静電エネルギーが不連続にならないようにするための補正です。
Ｕ'＝ｋ・ρ・(4πr^3)/3・(1/r)＋U0
=ｋ・ρ・(4πr^2)/3＋U0

ＵとＵ'とはr=aで同じになっていなければなりませんから

ｋ・ρ・(4πa^3)/3・(1/a)= ｋ・ρ・(4πa^2)/3＋U0
U0=0であることがわかりました。
∴Ｕ'=ｋ・ρ・(4πr^2)/3

２
(1)円筒はアースされているので電位=0です。一方、中心軸に沿って延びている導線の電荷が正ならば導線の電位は正のはずですから、導線から円筒に向かって、放射状に電場ができています。
ここでもガウスの法則が適用できます。導線の電荷だけを考えれば良いのです。
円筒と同軸の、半径ｒ（r<a)の円筒Ｐの側面を考えます。軸方向の長さがＬの部分に注目しますと、導線に有る電荷ｑは
ｑ＝ρ・Ｌ
Ｐの側面の面積Ｓは
Ｓ＝2πｒ・Ｌ
なので
Ｅ(ｒ)=4πｋｑ/Ｓ
＝２ｋρ/ｒ
円筒の外側では、電場は０です。なぜなら円筒には、導線に有る電荷を打ち消す量の逆符号の電荷が誘導されており、円筒の外部から見ると、円筒と導線は、トータルで電荷を持たないように見えるからです。
なお、電場はｒ＝ａの地点の内外で不連続ですが、電場は不連続であっても問題はありません。

(2)　導線に有る正電荷ｑを打ち消す電荷が円筒に誘導されています。なぜなら、電気力線を考えるとわかりますように導線から出た電気力線はすべて円筒に終わるのですから、電気力線の総数は導線から出た本数と円筒に入ってくる本数は等しいはずです。本数が等しいなら電荷の大きさは一致していなければなりません。そして、電気力線の両端には逆符号の電荷が有るはずです。
軸方向長さがＬの区間で考えると、導線にはρＬの電荷が有るのですから、円筒にも同じ電荷量が2πaLの面内に誘導されているはずです。電荷が負なので、符号に注意して
σ=-ρL/(2πrL)
=-ρ/(2πr)

(3)導線からの距離がｒの地点での電位は、１で議論したように
Ｕ＝ｋ・ρL/(2πｒ・L)＋U0
=ｋ・ρ/(2πｒ)＋U0

r=aでＵ＝０でなければなりません（アースされているのだから）。
0=ｋ・ρ/(2πa)＋U0
∴U0=-ｋ・ρ/(2πa)
Ｕ＝(kρ/2π)・(1/r-1/a)
=(kρ/2π)・(a-r)/(ar)

お礼

細かく教えていただきありがとうございます。
よければ、ポテンシャルを求める際の積分の仕方(積分区間)も教えていただけると助かります。