電磁気の問題について

質問

電磁気の問題について質問させていただきます。

半径a[m]の導線を中心間の距離をd[m]だけ隔てて平行においたとき、平行導線間の静電容量を求めよ。ただし、平衡導線の電荷密度はλ[c/m]、-λ[c/m]とし、d>>aとする。

この問題を解くにあたって、電荷密度λの導線の中心を原点として、この導線から距離x離れた点(ただし、0 <= x <= d)においてガウスの法則を適用して、

閉曲面として半径x、長さLの円柱を考えるとQ=Lλ[C]より
∫vec(E)・vec(n)ds = Q/ε0
E*2π(x-a)L=Lλ/ε0
E=λ/(2πε0(x-a))
※vec()：ベクトル　n：円柱側面に対して垂直な法線ベクトル　∫は面積分

となったのですが、電界がこのような値になると、静電容量を計算することができませんでした。

同心球殻コンデンサの静電容量を求める際には、導体間の点においてガウスの法則を適用することによって電界を求め、うまく静電容量を求めることができたのですが、この問題をガウスの法則を用いて解くことは不可能なのでしょうか？

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

できない。

この問題で一番厄介な点は電荷が導線上に一様分布しないことです。
一方の導線に符号が異なる電荷があるため、電荷はもう一方の導線に近いほうに集まります。
もちろん、電荷同士の反発があるためもう一方の導線に一番近いところに集中してしまうということはないのですが、それでも分布は一様にはなりません。

このように静電誘導が絡むような問題の場合、電気鏡像法を使うか、ラプラス方程式を解くか、の二つの方法があるでしょう。
電気鏡像法を使う場合、鏡像電荷が更なる静電誘導を引き起こすことに注意しないといけません。これは無限に続くのですが、回数を重ねるとその鏡像電荷量はゼロに収束します。
ラプラス方程式を解く場合、座標のとり方と境界条件が重要になります。

お礼

回答ありがとうございます！
そういうことだったのですね。
わかりやすい解説ありがとうございました！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

まず、これは単位長さ辺りの静電容量を求める問題ですよね。

だから電位差/単位長さの電荷=単位長さ辺りの静電容量
を求めればよい。

>E*2π(x-a)L=Lλ/ε0

ですが、円柱で面積分するなら a は式に出てこないはずですよね。

E*2πxL=Lλ/ε0

でよいはず。E を x=a～d で積分して λ で割れば単位長さ辺りの静電容量です。

お礼

回答ありがとうございました！
とても参考になりました！