電荷面密度

質問

誘電率がε1の誘電体のなかに
半径aの導体球が電荷Qを持っているとき。

中心からrの距離での誘電体内での電束密度D
の大きさがその距離での電界Eを用いて、
D＝ε1・E
となる。ところまではわかるのですが、
次に、導体表面の電荷面密度は導体表面上の電束密度の
法線成分に等しいので、導体表面上の電荷面密度は？

というところの電荷面密度が求められません。
その前に「導体表面の電荷面密度は導体表面上の電束密度の
法線成分に等しいので」という文章がどういう意味なのか
わかりません。
どなたかわかる方いらっしゃいましたらお願いします。

回答No.2

sinisorsa

>あと、やっぱり、問題に出てくる「導体表面の電荷面密度は導体表面
>上の電束密度の法線成分に等しいので」
>という文章が電束密度の方向と、電荷面密度が互いに垂直？
>であるとしか読み取れないのですが、それでよろしいのですか？
>なんだかそこがまだ、しっくりきていません。

面の方向というときは、面の法線方向のことを言います。
面に沿う方向と法線方向とは直交しています。
紛らわしいですね。

お礼

ありがとうございました！！
とても分かりやすくよくりかい出来ました！

回答No.1

sinisorsa

（１）導体球の中心を原点とする極座標系を採用しましょう。
r>a のとき、電荷分布の対称性から、電界Ｅはｒだけの関数であること
、また、電界の回転（rot）は零であるから、ｒ方向であることが分かります。
そこで、半径ｒの球面をガウス面として、ガウスの法則を使うと、
∫［半径ｒの球面上］E(r)dS＝E(r)4πr^2＝Q／（ε1）
よって、E＝Q／｛4π（ε1）r^2｝
D＝（ε1）E＝Q／｛4πr^2｝
導体表面では、r=a、このとき、D＝Q／｛4πa^2｝
右辺は、球導体面上の面電荷密度になります。
確かに、電束密度は面電荷密度に等しくなっていますね。

電界Eの方向は、ｒ方向であるから、電束密度Dもｒ方向ベクトル。
すなわち、球面上では、球面の法線方向であることがわかりますね。

（２）これらは、もっと一般に成り立ちます。導体表面の電界、電束は
導体表面の法線方向になります。
導体表面の付近で円筒形のガウス面を考えましょう。
円筒の軸を導体面の法線方向に取ります。円筒の上半分は導体の外、
下半分が導体内部にあるものとしましょう。
導体では、電位がどこも同じですから、導体の面に沿う方向の
電界成分は０、電束密度も０です。従って、電界、電束密度とも、
法線方向となります。
ここで、ガウスの法則を適用しましょう。
ガウス面において、積分の値が０でないのは、導体の外の円筒の上の面
です。円筒の上の円の面積をSとしますと、積分は、
　D・S＝σ・S
となります。σは面電荷密度です。Sは十分小さいとしています。
ゆえに、D＝σ
このように、導体表面では、そこの面電荷密度と電束密度の大きさは
一致します。また、方向は面の法線方向です。
以上ですが、分かりましたか。

補足

本当に丁寧な回答どうもありがとうございます！
導体表面の電荷面密度を求めるためには
導体表面における電束密度を求めればよいということが
わかりました！
ありがとうございます！

あと、やっぱり、問題に出てくる「導体表面の電荷面密度は導体表面上の電束密度の法線成分に等しいので」
という文章が電束密度の方向と、電荷面密度が互いに垂直？
であるとしか読み取れないのですが、それでよろしいのですか？
なんだかそこがまだ、しっくりきていません。