指数法則

質問

毎回毎回お世話になってます。
では、さっそく↓↓

ａ＞０,ｂ＞０でｒ,ｓが有理数のとき、
　[１]ａ^r・ａ^s＝ａ^(r+s)
　[２](ａ^r)^s＝ａ^(rs)
　[３](ａｂ)^r＝ａ^r・ｂ^r
が成り立つことは高校数学で学ぶ。
ただし、ａ＞０に対して　ａ^(1/n)＝n√ａ　(ｎは正の整数)の存在、すなわち、
　ｃ^ｎ＝ａ　(ｃ＞０)
となるｃの存在については直感的に認める。

もし、これを追求すれば、
　ｆ(ｘ)＝ｘ^ｎ　(ｘ≧０,ｎは正の整数)
という関数を考え、連続関数であることに着目して中間値の定理を利用すればよい。

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↑このように、ある参考書には書いてあったのですが、結局のところ、この証明、つまり
　ｃの存在の証明
はどのようにするのでしょうか？

友達と考えてもわからなかりませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa

＞　これを追求すれば、
＞　ｆ(ｘ)＝ｘ^ｎ　(ｘ≧０,ｎは正の整数)
＞　という関数を考え、連続関数であることに着目して中間値の定理を利用すればよい

「これを追求すれば」＝「これを証明したいなら」、ｆ（ｘ）＝ｘ^n という関数を考え、中間値の定理を使いましょう。
と書いてある。

例えば、
ｆ(０)＜ａ＜ｆ(ａ+1) 　∴　∃ｃ∈(０，ａ＋１)，　ｆ(ｃ)＝ｃ^n ＝ａ

回答No.1

Tacosan

それが「これを追求すれば」のくだりでしょ?