指数 無理数の演算

質問

次の問題
　無理数p,qについて、p^qが有理数であるような無理数を示せ

について、以下の証明で良いのでしょうか。

a^(1/2)、b^(1/2)、(ただしa,bは素数)の二つの無理数を考える。

a^(1/2)b^(1/2)について、この値は無理数(1)。
また、2/(b)^1/2について、この値は無理数(2)。
ところで、(a^(1/2)b^(1/2)) ^ (2/(b)^1/2)について、この値はaとなり、有理数。
従って、p=a^(1/2)b^(1/2)、q= (2/(b)^1/2)であるようなp,q(ただし、a,bは素数)

(1)の提示が自明かどうか、少し自信がありません。

また、この問題の正当な着想方法はどうするべきなのでしょうか。
p^qとなる数として、p=a^(1/2)、q=b^(1/2)を想定したのですが、それではうまくいきませんでした。
とはいえ、無理数として最初からa^(1/2)b^(1/2)のような数がすぐ思いつくかというと、それは難しそうです。
結果として、なぜ「a^(1/2)b^(1/2)」を提示したのか、という点に対し、論理的飛躍のある回答となってしまっています。

どなたか、ご教授願います。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

書き間違えました。

＞b^a=2です。

もちろんこれは↓

a^bです。

の間違いでした。失礼しました。

お礼

ありがとうございます。
ということは、対数と指数の関係性に気づかないと解決の糸口が見えそうにないですね。
難問ですね…

回答No.1

noname#199771

＞a^(1/2)b^(1/2)について、この値は無理数(1)。

(a^(1/2))(b^(1/2))かと思って読んでみたらどうも変なので、
a^((1/2)(b^(1/2)))のつもりですか？

少なくとも私には自明ではないです。
ヒルベルトの第７問題
http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Gelfond
の系ですね。

さて、p^qが有理数であるような無理数p、qの例を与えれば
いいのでしょうか？

たとえば
a=√3
b=log[√3]2
とおくとb^a=2です。
aは無理数です。
もしb=p/q(p,qは互いに素な自然数）とすると
3^(p/(2q))=2
∴3^p=2^(2q)
となって矛盾です。