逆三角関数の問題

質問

x = c*sin( r+arcsin( x/d ) )

c,r,dが定数です。
右辺からxを消して「x=…」の形にしたいのですが、どうしても分かりません。

逆三角関数について調べたのですが、有用な公式などが見つからず…
arcsin( x/c ) = r+arcsin( x/d )　ここまで変形して挫折してます。

どなたか解ける方よろしくお願いいたします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

x = c*sin(r+arcsin(x/d)) (|x/d|≦1)…(☆)
x = c*sin(r)cos(arcsin(x/d))+cos(r)sin(arcsin(cx/d))
= c*sin(r)√{1-(x/d)^2}+cos(r)(cx/d) (|x/d|≦1)
x{1-(c/d)cos(r)}=c√{1-(x/d)^2}sin(r) (|x/d|≦1)
(x^2){1-(c/d)cos(r)}^2=(c^2){1-(x/d)^2}sin^2(r)
(x^2){1-(c/d)cos(r)}^2=(c^2)sin^2(r)-(x^2)(c/d)^2*sin^2(r)
(x^2)[{1-(c/d)cos(r)}^2+(c/d)^2*sin^2(r)]=(c^2)sin^2(r)
x^2 = (c^2)sin^2(r)/[{1-(c/d)cos(r)}^2+(c/d)^2*sin^2(r)]
= (c^2)sin^2(r)/{1+(c/d)^2 -2(c/d)cos(r)}

∴ x = ±c*sin(r)/√{1+(c/d)^2 -2(c/d)cos(r)} (|x/d|≦1)…(▲)

添付図の説明
(☆)の右辺をyと置いたグラフを黒線、y=xのグラフを青線、
これらの2つのグラフの交点のx座標が(☆)の式を満たすxの解を示します。
（☆）の式をxについて解いた(▲)のx=(解)のグラフを紫線で示す。x座標が解です。
このx座標（解）の直線が(☆)の式のx座標と一致していることをグラフが示している。
したがって(▲)の式のx＝…の式が正しいことが確認できる。
(☆)のxの定義域|x/d|≦1を図の黄色の領域で、図は
d=2,c=2,r=π/4
の場合(この場合は(▲)の+の方の解のみ）である。
なお、d,c,rの取り得る範囲はd>0,-∞＜c＜∞, -∞＜r＜∞です。
これらの範囲でxは「-d≦x≦d」の範囲の値をとる。

xの解は、cの値によって、(▲)の式の±の符号の2つともの場合とどちらか一方のみの解の場合があります。

お礼

回答ありがとうございます。

詳細な式と説明のおかげで、自分でもすぐに理解できました。

丁寧にグラフまで作成して頂いて、本当にありがとうございます。
解が片方しかない場合というのも、グラフを見るととても分かりやすいですね。
計算も合う事を確認しました。

とにかく徹夜してでも解こうと思っていたもので…本当に助かりました。
またもう一度読み返して理解を深めようと思います。

回答No.4

hrsmmhr

そうですか。計算はちょっと自信ないですのでお任せします

やっているのは余弦定理です
AB＝d,BC=x,DB=c,∠ABD=rとしてます
（A,D,Cは同一直線上で∠ACB=90度です）
三角形ABDで余弦定理してみてください

No2はc/x,d/xでやってました図形も違います。すみません。

お礼

解法の説明をありがとうございます。

図を書いて解いていましたが、No.5の方の
回答があったため、ここで締め切らせて頂こうと思います。
（解くのが遅くてすみません）

ただ、とても興味深い解法だと思ったので
この方法も研究してみようと思います。

どうもありがとうございました。

回答No.3

hrsmmhr

すみません
cosr=[c^2+d^2-{√(d^2-x^2)-√(c^2-x^2)}^2]/2cd
cdcosr=x^2+√{(d^2-x^2)(c^2-x^2)}
(cdcosr-x^2)^2=(d^2-x^2)(c^2-x^2)
(c^2+d^2-2cdcosr)x^2=c^2d^2(1-cos^2r)
x=±cd(1-cos^2r)/√(c^2-2cdcosr+d^2)

お礼

回答ありがとうございます。

式の導出の過程の理解が追いつかず、とりあえず
No.2とNo.3両方とも計算して確認したのですが、
何回やっても計算が合いません…
（計算ミスでしたら申し訳ありません）

ただ、図形から考えるというヒントは頂けたので
そこから何か出来ないかと頑張っています。

何か追加のアドバイス等ありましたらお願い致します。

回答No.2

hrsmmhr

図形で考えて
cosr=1-√[(d-c)^2+{√(x^2-d^2)-√(x^2-c^2)}^2]/x^2
(1-cosr)^2={(d-c)^2+2x^2-d^2-c^2-2√{(x^2-c^2)(x^2-d^2)}/x^2
4((x^2-c^2)(x^2-d^2)=x^4{4-(1-cosr)^2}-2cd{4-(1-cosr)^2}x^2+4c^2d^2}
(1-cosr)^2x^4+2{2(c-d)^2-(1-cosr)^2}x^2=0
x=±√[2{(1-cosr)^2-2(c-d)^2}/(1-cosr)^2], 0

回答No.1

alice_44

arcsin を使う方向へもって行こうとするから
うまくいかないのです。
sin を使う方向へもって行きましょう。
y = arcsin(x/d) と置くと、
x = d sin(y),
x = c sin(r+y).
です。

sin(r+y) を加法定理で展開した後、
cos(y) を sin(y) で表して消去するために、
x の値の範囲で場合分けする必要がありますね。

お礼

回答ありがとうございます。
ご指摘の方向でやってみたのですが、cos(y)の消去で詰まっています…

x = c * { sin(r)cos(y)+cos(r)sin(y) }
cos(y)=√{1-sin^2(y)}
x = c * [ sin(r)√{1-sin^2(y)} + cos(r)sin(y) ]

こんな感じで進めていますが、追加のアドバイス等ありましたら
出来ればお願いします。