位相数学の証明問題です．

質問

どなたか分かるかた，回答をよろしくお願いします．

（1）ω：[0,1]→R^2 - {0,0} は原点を通らない平面上の閉曲線（ω(0) = ω(1)）とする．このとき，原点，ω(t)，ω(t+1/2)が一本の直線上にあるようなtが存在することを示せ．

（2）S^2はR^3の原点からの距離が1の図形として考える．連続（または微分可能な）写像ｆ：S^2→S^2ですべてのx∈S^2において，f(x) ≠ xかつf(x)≠-xなるものは存在しないことを証明せよ．

よろしくお願いします．

回答No.1

kobold · ベストアンサー

高校で、
「f(0)=f(1)の微分可能な関数で、f'(t)=0となるtが存在する」
というのをやったと思います
発想は同じです

(1)ω(t)のx座標、y座標を、x(t),y(t)とします
f(t)=x(t)*y(t+1/2)-x(t+1/2)*y(t)を考えると、f(0)=f(1)です
f(0)=0ならそれで終了です
f(0)>0ならf(1/2)=x(1/2)*y(0)-x(0)y(1/2)=-f(0)<0
f(0)<0の場合も同様
f(t)はそれぞれ正と負の値を取り、
中間値の定理よりf(t)=0となる場所が存在します

(2)同様の発想で考えてみて下さい