多様体の問題です

質問

はめ込み
f:S→R(実数全体)は存在しないことを示せ。
という問題です。

S={x∈R^2|∥x∥=1}

f:M→Nがはめ込みであるとは、すべての点p∈Mにおいて、fの微分が１対１の線形写像になることである。

わかる方いましたら解答を教えていただけると幸いです。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

ANo.1です。たびたびすみません。はめこみと埋め込みを混同していました。fが1対1写像と限らないのですね。

fをSからRへの可微分写像とします。

fが連続で、Sがコンパクトですから、f(S)はコンパクトです。したがって、f(S)には最大値aが存在します。bをf(b)=aなる点とすると、fの微分は、bで0になります。したがって、fは、はめ込みではありえません。

お礼

本当に何度もご丁寧にありがとうございます。
<(_ _)>
また、機会がありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.2

ramayana

ANo.1です。失礼しました。問題をよく読んでいませんでした。SからRの部分集合への位相同型が存在しないことを言えば十分です。

fをSからRへの連続写像とします。Sがコンパクトかつ連結ですから、f(S)はRのコンパクト連結部分集合（＝閉区間）です。aをf(S)の内点（境界以外の点）とするとき、f(S)-{a}は２つの連結成分に分かれます。一方、Sからどの一点を除いても連結集合のままですから、fは、位相同型になりえません。

回答No.1

ramayana

SからRへの位相同型が存在しないことを示せば十分です。

Rから1点を取り除くと、２つの連結成分に分かれます。一方、Sからどの1点を除いても連結のままです。

このことと、連結性が位相同型によって不変であることを使えば、証明できます。