整域

質問

実数体ＲからＲへの連続関数の全体は、値同士の和・積
（ｆ＋ｇ）（ｘ）：＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）
（ｆＸｇ）（ｘ）：＝ｆ（ｘ）Ｘｇ（ｘ）
により環になるが、整域になるか？

という問題なのですが、
ｆ（ｘ）Ｘｇ（ｘ）＝０
となる場合、
ｆ（ｘ）ｏｒｇ（ｘ）が０でなければいけないので
整域といえますか？

簡単な説明でいいので教えてください！

回答No.3

OurSQL

>ｆ（ｘ）Ｘｇ（ｘ）＝０
>となる場合、
>ｆ（ｘ）ｏｒｇ（ｘ）が０でなければいけないので

この主張が、

任意の実数 x に対して、f (x) と g (x) の積が実数 0 に等しいとき、
その x に対して、f (x) or g (x) が実数 0 に等しい

という内容なら正しいですが、

任意の実数 x に対して、f (x) と g (x) の積が実数 0 に等しいとき、
f or g がこの環の零元（以下、単に 0_ と書きます）に等しい

という内容なら、間違っています。

h が 0_ <----> h (x) = 0 が任意の実数 x に対して成り立つ

ですから、この h を f, g, f * g に置き換えて、

f * g = 0_ であるが、f ≠ 0_ かつ g ≠ 0_ となる例を、考えてみてください。

お礼

わかりやすい丁寧な説明ありがとうございます。

加法の場合なら簡単にみつかるのに、積はなかなか思いつきません。

私だけでしょうか？笑

もう少し考えてみます。

ほんとうにありがとうございました。

回答No.2

33550336

＞連続関数とは微分できるということですよね・・・？

違います。
連続関数の定義はε－δによるもので微分は関係ありません。

ちなみに補足に書いてある零因子の定義も違います。
定義を再確認してもう一度考えましょう。

最後に、答えだけ言っておくと整域にはなりません。

お礼

たびたびありがとうございます。

零因子ではなく、整域の定義でした・・・

回答No.1

koko_u_u

>ｆ（ｘ）Ｘｇ（ｘ）＝０
>となる場合、
>ｆ（ｘ）ｏｒｇ（ｘ）が０でなければいけないので

なぜですか？
連続関数が 0 である、とはどういうコトかわかっていますか？

補足にどうぞ。

お礼

補足して頂いてありがとうございます。

連続関数とは微分できるということですよね・・・？
連続関数が０になるとは、、、どういうことなのでしょうか？

実数から実数への関数なので、
ｆ（ｘ）もしくはｇ（ｘ）の値どちらかが０にならない限り
積が０にならないと考えたのですが・・・

零因子とは
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝０の場合も、
ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）どちらもが０でないといけないのですか？

ということは・・・ｆ（ｘ）＝３ｘ、ｇ（ｘ）＝－３ｘ
とする場合、
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝０
になるので、

この関数は整域ではないといえますか？