積分に関する証明問題

質問

T={f:R→R | fは連続であって、また、あるM≧0が存在して、|x|>M ⇒f(x)=0 が成り立つ}
とすると、

連続関数G:R→Rであって、条件

f∈T ならば ∫(-∞→+∞)G(x)f(x) =f(0)
が成り立つ

を満たすものは存在しないことを示して下さい。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

方針：G(x)がx=0以外の点で0以外の値を取ることがあれば、f(x)としてその点の近傍だけで0以外の値をとるような関数を使うと矛盾してしまう、という方針で行く

ある z≠0 が存在して G(z)≠0であるとする。一先ずG(z) = H > 0とおくと、Gは連続であるから、あるδ>0があって、|x-z|<δなら |H-G(x)| < H/2、即ち G(x) > H/2となる。従ってα = min { δ , |z| } > 0 とおくと、|x-z| < αなら、x≠0かつG(x) > H/2 となる。

今、e(x) = α - |x-z| (|x-z| < α) , 0 (それ以外）とおけば、eは連続、かつ|x|≧ |z|+αならばe(x) = 0である故、e∈Tであって、かつe(x) = 0である。

ここで ∫(-∞→+∞) e(x) G(x) dx = ∫(z-α→z+α) e(x) G(x) dx > (H/2) ∫(z-α→z+α) e(x) dx = (H/2) * α^2 > 0。ところがe(x) = 0でe∈Tであるから、 ∫(-∞→+∞) e(x) G(x) = e(0) = 0でなければならない。これは矛盾である。 G(z) < 0とおいても同様に矛盾が生じる。

従って z≠0 ならG(z) = 0 でなければならない。GはRで連続であるから、 G(0) = lim[x→+0]G(x) = 0となり、結局全ての実数xでG(x) = 0である。

したがって f∈T ならば、あるM>0があって、|x|>Mならばf(x) = 0である故、 ∫(-∞→+∞)G(x)f(x) dx = ∫(-M→M)G(x)f(x) dx = 0となってしまって矛盾である。[qed]

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