実部Realｆ（ｚ)が上に有界な整関数は定数である。

質問

実部Realｆ（ｚ)が上に有界な整関数は定数である。

証明
Realｆ(ｚ)＜Ｍとすれば
g(ｚ)≡１／［2Ｍ－ｆ(ｚ)］は有界な整関数となり定数。よって定数と書いてあるが、
g(ｚ)が有界な整関数はなぜですか。
宜しくお願いします

回答No.2

noname#152421 · ベストアンサー

＃１です。

> Realｆ(ｚ)＜Ｍとすれば

上に有界ではなくて単に有界なので、
Re[f(z)]<Mではなくて|Re[f(z)]|<M
とすべき。

有界性については素直に|g(z)|を評価すればよい。
絶対値の二乗を計算して、有界な値（Mだけに依存する数）より大きくないという不等式を導く。
f(z)=u(z)+iv(z)(u(z)=Re[f(z)],v(z)=Im[f(z)])とおいて計算してみてください。
途中で|u(z)|<Mを使います。
虚部の状態に拠らずに評価できます。

整関数については分母が0にならないことを言えばいい。
これもRe[f(z)]<Mを使う。

あとはリュービルの定理（関数論の本に載っています）を使えば終了です。

お礼

> Realｆ(ｚ)＜Ｍとすれば

上に有界ではなくて単に有界なので

上に有界でいいです。このほうが制約が少ないがこれで十分成り立ちます。
解決しました。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#152421

りゅーびる

補足

もう少しかみくだいて説明ください。