テンソル積について

質問

加群のテンソル積についての問題です。
『Rを可換環とする。1変数R係数多項式環R[X]、R[Y]に対して、
R[X](×)R[Y]が2変数R係数多項式環R[X,Y]に環として同型である』
という問題で、射として
φ:f(X)(×)g(Y)→f(X)g(Y)
を考えればよいと答にはあるのですが、この射が加法に関して準同型にならなくて困っています。具体的には、

φ((f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y)))
=φ((f(X)+f'(X))(×)(g(Y)+g'(Y)))
=(f(X)+f'(X))*(g(Y)+g'(Y))
=f(X)*g(Y)+f(X)*g'(Y)+f'(X)*g(Y)+f'(X)*g'(Y)

となり、一方

φ(f(X)(×)g(Y))+φ(f'(X)(×)g'(Y))
=f(X)*g(Y)+f'(X)*g'(Y)

となってしまい、

φ((f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y)))＝φ(f(X)(×)g(Y))+φ(f'(X)(×)g'(Y))

が成立しなくなってしまうのですが、どこか間違っているところがあるのでしょうか？
個人的には、テンソル積の和がおかしいのかな、という風には思っています。

回答No.5

arrysthmia

R[X] (×) R[Y] と R[X,Y] が環同型か？ を問うためには、
何よりもまず、R[X] (×) R[Y] が環でなくてはならない
のだけれど…　この環の加法乗法をどのように定義するか。

環 R[X] と R[Y] は R-加群でもあるから、加群としての
テンソル積を R[X] (×) R[Y] とするのなら、その時点で、
R[X] (×) R[Y] も R-加群ではある。

R-加群 R[X] (×) R[Y] から R-加群 R[X,Y] への
正則な線型写像を φ として、これを同型写像とするように
環 R[X,Y] の加法乗法を R[X] (×) R[Y] へ埋め込めばよい。

普通は、これを「多項式環のテンソル積」と呼ぶのだと思うが、
これだと、環の同型性を示したのではなく、同型となるような
環を定義して見せたに過ぎない。話の順番が違ってしまうが…
さて？

回答No.4

arrysthmia

No.3 の三段落目は、
準同型を示したのではなくて、
加法準同型を仮定して計算を
してみた… ということでは
ないかな。

回答No.3

de_Raemon

＞φ((f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y)))
＞=φ((f(X)+f'(X))(×)(g(Y)+g'(Y)))
ここが変じゃないですか？
(f(X)+f'(X))(×)(g(Y)+g'(Y))を展開しても
(f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y))にはなりませんよね。

＞φ:f(X)(×)g(Y)→f(X)g(Y)
ということは、a,b∈Rに対してφ(a(X^m)(×)b(Y^n))=ab(X^m)(Y^n) が成り立つってことですよね。
f(X)=Σ(a_m)(X^m) , g(Y)=Σ(b_m)(Y^m) , f'(X)Σ(c_m)(X^m) , g'(Y)=Σ(d_m)(Y^m)
とべき級数の形で書けば、
f(X)(×)g(Y)=Σ(a_m)(b_n)(X^m)(×)(Y^n) , f'(X)(×)g'(Y)=Σ(c_m)(d_n)(X^m)(×)(Y^n)
→(f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y))=Σ((a_m)(b_n)+(c_m)(d_n))(X^m)(×)(Y^n)

∴φ((f(X)(×)g(Y))+(f'(X)(×)g'(Y)))
=φ(Σ((a_m)(b_n)+(c_m)(d_n))(X^m)(×)(Y^n))=Σ((a_m)(b_n)+(c_m)(d_n))(X^m)(Y^n)
=Σ(a_m)(b_n)(X^m)(Y^n)+Σ(c_m)(d_n)(X^m)(Y^n)
=φ(Σ(a_m)(b_n)(X^m)(×)(Y^n))+φ(Σ(c_m)(d_n)(X^m)(×)(Y^n))
=φ(f(X)(×)g(Y))+φ(f'(X)(×)g'(Y))
となってφが加法に関して準同型なことは示されました。

回答No.2

arrysthmia

なるほど。
「テンソル積について」と書いてありましたね。
環の積じゃなく、
加群としての積が環になるか？
という話なんですね。

だとすれば、同型性以前に、
射を φ( f(x) (×) g(Y) ) という形で
定義しようとしたことが、そもそも失敗。
その定義では、φ が R[X] (×) R[Y] の全域で
定義できていません。

R[X] (×) R[Y] の元は、
f(X) (×) g(Y) と書けるとは限らない
からです。
列ベクトル × 行ベクトル の行列積では
あらわせない行列がある
ことと比較してみましょう。

回答No.1

arrysthmia

あれ？

二変数多項式環は整域ですが、
直積環には零因子が在りますね。

補足

直積環ではなくてテンソル積なので、0(×)g(Y)などの元はすべて0になるので、整域ではあると思うのですが・・・、何か僕が勘違いしているところがあるのでしょうか？