高一数学A 二項定理のやり方について

質問

こんにちは。
(x＋1)^6(2＋x)^6の展開式のx^3の係数を求めよ。
という問題のとき方についてです。　指数を＾で表すとします。

(x＋1)^6の展開式の一般項は、解答には、　6Cr・x^r r=0,1,2,3,・・・,6 と書いてあります。

これは、6-rにrを代入してもrと答えが同じになるから、x^6-r を ｒに置き換えているんですよね？

では、
(2＋x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s　s=0,1,2,3,4,5,6 とありましたが、2^6-s　は2^sとして計算しても同じにならないですか？　ならないのはなぜでしょうか。

文中の6Csとかは、組み合わせの公式です。

ご回答よろしくお願いします。　シグマは習っていないのでそういうのを使わないで回答をお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

>(x＋1)^6の展開式の一般項は、解答には、　6Cr・x^r r=0,1,2,3,・・・,6

この式、もう少し丁寧に書くと
6Cr・1^(6-r)・x^r
となります。1は何乗しても1ですから省略しているに過ぎません。
この場合、x^rの係数とx^(6-r)の係数は6Cr*1^(6-r)=6Crと6C(6-r)*1^r=6C(6-r)となり、一致します。

>(2＋x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s
今度は2^(6-s)となりますのでさすがに省略できません。これはsの値に伴って変化する数です。
この場合、x^sの係数とx^(6-s)の係数はそれぞれ6Cs*2^(6-s)と6C(6-s)*2^sとなりますが、これは最初の部分の値は同じになりますが、2^(6-s)と2^sのところは明らかに異なる数字となるため、異なる値となります。

回答No.1

noname#157902

写し間違えじゃないでしょうか？
　＞(2＋x)^6の展開式の一般項のときは、解答には、6Cs・2^6-2・x^s　s=0,1,2,3,4,5,6 とありましたが

　　(2＋x)^6の展開式は、6Cs・2^（6-ｓ）・x^sです。２の6乗ではなく、２の、6-Ｓ乗で、引き算は混じりません。

　　＞2^6-s　は2^sとして計算しても同じにならないですか？
　　　質問者さまの式ではＳ＝6-Ｓを代入すると、違う式になりますが、
　　上の式だと正しく計算できます。
　ただし、対応が変わります。Ｓ＝１のとき6-Ｓ＝５という組み合わせと、6-Ｓ＝５　のときＳ＝１という組み合わせが
　入れ替わるだけです。（Ｓ＝０，１，２，３，４，５，６と代入すれば分かります。）