置き換え積分法での解き方。

質問

問題集で置き換え積分法で６問　分からない問題がありました。
途中式も含めて、教えてください宜しくお願いします。

(1)∫3x (x + 3)^(3) dx

(2)∫x √(1-x) dx

(3)∫sin^(4)(x)・ cos(x) dx

(4)∫xe^{x^(2)} dx

(5)∫xcos{x^(2)+1 } dx

(6)∫1 / x(1 + logx ) dx

答え
(1)(3/10)(x+2)^(4) (2x-1) + C
(2)(-2/15)(3x+2)(1-x) √(1-x) + C
(3)(1/5)sin^(5) (x) + C
(4)(1/2)e^{x^(2)} + C
(5)(1/2)sin{x^(2)+1} + C
(6)log | 1 + logx | + C

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)∫3x (x + 3)^(3) dx
＞x+3=t、x=t-3、3x=3t-9、dx=dt
∫3x(x+3)^3dx=∫(3t-9)t^3dt=3∫t^4dt-9∫t^3dt
（以降省略）
(2)∫x √(1-x) dx
＞√(1-x)=t、1-x=t^2、x=1-t^2、dx=-2tdt、
∫x√(1-x)dx=-2∫(1-t^2)t^2dt=-2∫t^2dt+2∫t^4dt
（以降省略）
(3)∫sin^(4)(x)・ cos(x) dx
＞sinx=t、cosxdx=dt
∫sin^(4)(x)*cos(x)dx=∫t^4dt
（以降省略）
(4)∫xe^{x^(2)} dx
＞x^2=t、2xdx=dt
∫xe^{x^(2)}dx=(1/2)∫e^tdt=(1/2)e^t+C(積分定数)
（以降省略）
(5)∫xcos{x^(2)+1 } dx
＞x^(2)+1=t、2xdx=dt
∫xcos{x^(2)+1}dx=(1/2)∫costdt=(1/2)sint+C(積分定数)
（以降省略）
(6)∫1 / x(1 + logx ) dx
＞1+logx=t、(1/x)dx=dt
∫1/{x(1+logx)}dx=∫(1/x){1/(1+logx)}dx
=∫1/tdt=log|t|+C(積分定数)
（以降省略）

お礼

ありがとうございます。大変わかりやすいです。
とても参考になりました。♪

回答No.2

alice_44

(1)(2) は、置換積分よりも、部分積分を勧める。
∫ 3x (x+3)^3 dx = 3 { x(1/4)(x+3)^4 - ∫ (1/4)(x+3)^4 dx },
∫ x (1-x)^(1/2) dx = x(-2/3)(1-x)^(3/2) - ∫ (-2/3)(1-x)^(3/2) dx.

(3) y = sin x と置いて、∫ sin^4(x) cos(x) dx = ∫ y^4 dy.
(4) y = x^2 と置いて、∫ x e^(x^2) dx = ∫ (1/2)e^y dy.
(5) y = x^2+1 と置いて、∫ x cos(x^2+1) dx = ∫ (1/2)cos(y) dy.
(6) y = 1+log x と置いて、∫ (1/x)(1 + log x) dx = ∫ y dy.

あれ？ (6) の答えが変だな…
∫ 1/{ x (1 + log x) } dx = ∫ { 1/(1 + log x) } (1/x) dx = ∫ (1/y) dy.
という意図かな。

お礼

ありがとうございます。分からないことだらけなので、とても参考になります。♪