恒等式の解法を忘れてしまい、困っています

質問

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3
=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
a>c

これは恒等式の係数比較法？でやればいいのでしょうか…
他にも何か上手な方法があった気がするのですが…

どなたか、解き方を教えていただけないでしょうか…

どうか、お力を貸してください！！！

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

方法としては
(1)展開してx^4,x^3,x-2,x,定数の係数が全て等しいことを示す。

(2)xに適当な値を入れて必要な個数の式を導く。
例えばx=0,1,2を代入して等しいことから式を導く。

(3)式を変形して同じ形に持っていく。
今回は(3)で行きます。
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3
=(x^2+5x)+10(x^2+5x)+24-3
=(x^2+5x)+10(x^2+5x)+21
=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)

回答No.3

koyadi

xに関する恒等式はxに何を代入しても成り立つ式ということですから
xに都合のよい値を代入すればよいのでは？
この場合未知数がa,b,c,d（a>c）の4個あるわけですから
x=0,-1,-2,-3あたりを代入して連立方程式を解けばよいと思われます。

高校生ですか？勉強がんばってください。

余談ですがn次の多項式はn次のベクトル空間となり、
ベクトルの1時独立性から恒等式の係数比較法が導かれるわけです。
大学入って線形代数を勉強するとここら辺も勉強するハメになりますよ。

お礼

回答ありがとうございました！
左辺を－３にするように代入するのですね！

私には、余談がちょっと難しいです…；
ベクトルの一時独立性…線形代数…

…勉強がんばります！

回答No.2

rnakamra

#1のものです。式変形で一部^2が抜けていました。

=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24-3
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+21
=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)

です。a>cではないですね。
別の形にするには、それぞれを因数分解して別の組み合わせで掛け合わせればよいのですが、x^2+5x+7=0の判別式D=5^2-4*1*7=^3<0であり、どうしても複素数となりa>cにすることが出来ません。

何か問題おかしくないですか。

お礼

実は今回が初投稿でして、
こんなに早く回答していただけるとは思っていませんでした！
感謝しています！

rnakamraさんの回答を参考に、実際解いてみたら思い出せました。
ちなみに、私が思い出したかったのは、（３）の回答でした。

a＞cのところ、確かにおかしいですよね；
b＜dあたりの間違いかもしれません；
問題をノートに板書してきたのですが、そのときに間違ったのかもしれないです；
そんなところでお手数掛けてしまって…本当にすみません！

分かりやすい回答、ありがとうございました！