恒等式

質問

x^4－4x^3＋ax^2＋x＋bが、ある整数の平方となるような定数aとbの値を求めよ。
という問題で

【x^4－4x^3＋ax^2＋x＋b＝(x^2＋cx＋d)^2】とおくことができるから

x^4－4x^3＋ax^2＋x＋b＝x^4＋2cx^3＋(c^2＋2d)x^2＋2cdx＋d^2

これが恒等式となるから

－4＝2c
a＝c^2＋2d
1＝2cd
b＝d^2

(省略)

よって、a＝7/2 b＝1/16

【 】でくくったところがよく分かりません。
(x^2＋cx＋d)^2 がどうやって出てくるのか教えてください。
なにか計算があるのでしょうか？

回答No.2

cofeemaker · ベストアンサー

ある整数の平方となる。
＝ある整数の二乗となる。

最初の数式x^4－4x^3＋ax^2＋x＋bには，ｘの４乗が含まれています。
「ある整数」を二乗して，ｘの４乗が出るなら，「ある整数」の最高次数はｘの２乗ですね。
また，この４乗には係数がついていません。

ので，最初の数式が「ある整数」を二乗したものであれば，「ある整数」を（ｘ＾2+cx+d)とおいて，（ｘ＾2+cx+d)＾２とおくことができます。

確認のため，（ｘ＾2+cx+d)の二乗を展開すると，
x^4＋2cx^3＋(c^2＋2d)x^2＋2cdx＋d^2となり，
x＾4も，x＾3も，x＾2も，xも，ｘのつかない数も出てきます。

基本だ。

お礼

ありがとうございました。おかげでスッキリでしました

回答No.1

debut

＞ある整数の平方となるような

は、ある整式の平方ですよね。

【 】でくくったところ、はまさにそのことを表現したものです。
元の式はx^4の係数が１の４次式です。ある整式を平方してこれが
出るのだから、その平方した整式はx^2の係数が１の２次式になります。
だからその式を　x^2+cx+d とおいているわけです。