三角関数の定積分

質問

∫ 1/(4sinθ-3-i) dθ の[0,2π]における定積分がわかりません。
tan(θ/2)=x と置いて∫ 1/(4sinθ-3-i) dθ の不定積分は解けたのですが、定積分の範囲が[0,0]になってしまいます。

どなたか回答宜しくお願い致します。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
>tan(θ/2)=x とおくと
こうおくと
θ：0→πのとき　x：+0→+∞
θ:π→2πのとき x：-∞→-0
となってxが不連続になるのでθ：0→2πの通しで積分できないと言うことなので、
>（下限tan0=0、上限tanπ=0）
といったおかしなことが起こります。
tan(θ/2)=xとおけるのは
θ:-π→0→π　つまり　θ:[-π,π]の積分範囲でしょう。

では、どうすれば良いかといえば
tan(θ/2)=xという置換を使う場合
積分範囲を0～πとπ～2πの2つに分割し、
前半はそのまま置換、
後半はsinθの周期性を利用して、θ:[π,2π]→[-π,0]に変換してから
tan(θ/2)=xの置換を適用すればいいでしょう。

つまり前半の積分は積分範囲x:[0,∞]の積分に、
後半の積分はx:[-∞,0]の積分に
なるということです。前半と後半の積分を加えれば、全体の積分になるということでしょう。

なお、被積分関数の分母を有理化して
1/(4sinθ-3-i)=(4sinθ-3)/{(4sinθ-3)^2+1}+i/{(4sinθ-3)^2+1}
と実数部と虚数部に分けて、実部と虚部を別々に積分するのも１つの方法でしょう。

お礼

なるほど、言われてみれば高校の時にそんな事を言われた記憶があります。

分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

lim[x→+∞] log｜(x-a)/(x-b)｜ = log 1 = 0
ですよ？

lim[x→+∞] 1
= lim[x→+∞] (x+1) - lim[x→+∞] x
については、
どう思いますか？

お礼

＞lim[x→+∞] log｜(x-a)/(x-b)｜ = log 1 = 0
logA-logB = log(A/B) ですね、すみませんちょっと勘違いしていました。

＞lim[x→+∞] 1 = lim[x→+∞] (x+1) - lim[x→+∞] x
右辺 = lim[x→+∞] {(x+1)-x} = lim[x→+∞] 1 という事ですね。

親切に有難うございました。

回答No.3

arrysthmia

∫ 1/(4sinθ-3-i) dθ を tan(θ/2) = x で置換して、
与式 = lim[r→+∞] ∫[0≦x≦r] 2dx/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)}
　　　+ lim[r→-∞] ∫[r≦x≦0] 2dx/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)}
とするとき、右辺の二つの lim が収束することから、
広義積分は収束し、与式の値を計算することができます。
このとき、
与式 = lim[r→+∞] { ∫[0≦x≦r] 2dx/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)}
　　　+ ∫[-r≦x≦0] 2dx/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)} }
とちゃイケナイのは無論ですが、
上の式の二つの lim が収束しているので、
∫[-1≦x≦1] dx/x などとは、ちょっと事情が違うのです。

補足

＞右辺の二つの lim が収束することから
すみません、イマイチこの部分が理解できてないです。

簡約化の為に与式を不定積分で考えると
∫ 2/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)} dx
　= ∫ 2/{(x-a)(x-b)} dx　　但しa=(10-5i)/2、b=(1-2i)/2
　= 2/(11-7i) ∫ {1/(x-a)}-{1/(x-b)} dx
　= {2/(11-7i)}(log|x-a|-log|x-b|+C)　　Cは積分定数
となりますが、確か lim[x→+∞]log x = +∞ だったと思うのですが・・・。

あと∫ 2/{-(3+i)x^2+8x+3+i} dx としていましたが∫ 2/{-(3+i)x^2+8x-(3+i)} dx の間違いでした。訂正ありがとうございます。

回答No.1

info22

やった計算の途中計算を詳細に補足に書いて下さい。
そうでないとチェックできません。

被積分関数の中の「i」は虚数単位ですか？

補足

＞被積分関数の中の「i」は虚数単位ですか？
はい、i=√-1 です。

【途中計算】
tan(θ/2)=x とおくと
　sinθ= 2sin(θ/2)cos(θ/2) = 2tan(θ/2)/{1+tan(θ/2)} = 2x/(1+x^2)

与式 = ∫(1+x^2)/{-(3+i)x^2+8x+3+i}dθ （下限0、上限2π）

また、dx/dθ = 1/2cos^2(θ/2) = (1+x^2)/2　より (1+x^2)dθ=2dx

与式 = ∫2/{-(3+i)x^2+8x+3+i}dx（下限tan0=0、上限tanπ=0）

ここで上限と下限が同じ0になってしまい、先に進めなくなってしまいました。