三角関数を含む難しい定積分の求め方の急なお願い。

質問

問題は、

∫(0,x)｛1/(√2+cosθ）^2｝dθ
　＜積分範囲：0からxまで＞

三角関数を含む積分で困ったときは、tan(x/2)=t の置き換えでトライすることにしていたのですが、泥沼に入ってしまいました。

この置換ではなく、他に変形・置換など有効な解法はないものでしょうか。急ぎで恐縮なのですが、どうかよろしくお願いします！また、前述のｔの置換で進められるものかどうか、ヒントや見込みだけでもいただけると、嬉しいです。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

積分すると
F(x)=∫(0,x)｛1/(√2+cosθ）^2｝dθ
=(2√2)arctan｛(√2-1)tan(x/2)｝-｛sin(x)/(√2+cos(x))｝

となります。

[検算]
F ’(x) = 1/(√2+cos(x) ）^2
となるので合っていると確認済み。

お礼

すぐにも解答を、どうもありがとうございました！
逆関数の微分や積分計算に逆関数に全く慣れていなかったので、一から勉強していました。まだこのレベルなので、お手数をおかけしました。