三角関数の積分

質問

sin^2(x)を積分するとき、倍角の公式を用いて
sin^2(x)=(1-cos(2x))/2
として積分計算できますが、
これ以外の方法でsin^2(x)を積分するとはできるのでしょうか？
（部分積分を使ってみたのですが元に戻ってしまいうまくいきません。）

回答No.2

adinat · ベストアンサー

I=∫sin^2(x)dx
=∫sin(x)sin(x)dx
=∫(-cos(x))'sin(x)dx
=-cos(x)sin(x)-∫(-cos(x))cos(x)dx
=-cos(x)sin(x)+∫cos^2(x)dx
=-cos(x)sin(x)+∫(1-sin^2(x))dx
=-cos(x)sin(x)+x-I+C(積分定数)
∴2I=x-sin(x)cos(x)+C
より、
I=(x-sin(x)cos(x))/2+C
と出来ます。積分定数は取り直しました。
∫cos^2(x)dxに部分積分を使うと元に戻ってしまうので、三角関数同士の積で部分積分を使うとき、うまくいかない場合はsin^2(x)+cos^2(x)=1をうまく使うのがミソです。

回答No.3

rangeru

虚数をiとして、オイラーの公式
　　exp(ix)=cos(x)+isin(x)
を用いてsinxを、
　　sinx=｛exp(ix)-exp(-ix)｝/2i
と表し、これを２乗してから積分すれば解けます。

回答No.1

debut

∫sin^2(x)dx
=∫(1-cos^2(x))dx
=∫(1-cosx)(1+cosx)dx
=∫(x-sinx)'(1+cosx)dx
=(x-sinx)(1+cosx)-∫(x-sinx)(-sinx)dx
=(x-sinx)(1+cosx)+∫(x-sinx)(sinx)dx
=(x-sinx)(1+cosx)+∫xsinxdx-∫sin^2(x)dx
のようにすればできるのでは？

お礼

返信ありがとうございます！！
こんなふうに解けるなんて思いつきもしませんでした！！