断熱膨張における仕事について

質問

断熱膨張における仕事で、ω＝－PexΔV=CvΔTのような式が成り立つみたいなのですが、なぜ－PexΔV=CvΔTが成り立つのかよくわかりません。Cv＝3/2nRなので、どう考えても状態方程式と関係が合わない気がするのですが、なぜなのでしょうか？

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

どこが疑問なのか理解しきれないのですが、一応コメントさせて頂きます。
dU=dQ-PdV...(1)
でdQ=0ならdU=-PdVですが、これは外に対してする仕事ですから可逆過程での膨張ならばPはガスの圧そのものですが、定圧Pexに抗しての膨張ならPexとなります。これにより(1)は
dU=-PexdV...(2)
となります。一方、一般に化学反応が起きていない系では、
dU=dQ-PdV
dQ=CvdT+LdV
で、Lは体積変化の潜熱です。従って
dU=CvdT+LdV-PdV=CvdT+(L-P)dV...(3)
となりますが、理想気体ならばL=Pなので
dU=CvdT...(4)
となります。よって定圧に抗する断熱膨張では(2)(4)より
CvdT=-PexdV...(5)
です。しかしここでPexはガスの圧Pそのものではないので、Pexに状態方程式を当てはめるわけではありません。ガスが外にした仕事はPeが一定値ならばPexΔVとなり、その分内部エネルギーUが下がるだけです。(5)にCv=(3/2)R（単原子分子の理想気体とする）を代入すれば
(3/2)RdT=-PexdV
となりまして、これを（Pex一定として）積分すれば
(3/2)RΔT=-PexΔV
となりこれからΔTが計算できます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

rnakamra

>ω＝－PexΔV=CvΔTのような式が成り立つ
先ず、普通ω(オメガ)ではなくW(ダブリュー)の文字を使います。
なぜなら仕事(Work)の頭文字だから。
これは、外からされた仕事が全て内部エネルギーの増大に使われることから得られる式です。

理想気体の状態方程式は
Pin*V=nRT
です。
この変化分を考えると、
Δ(Pin*V)=Δ(nRT)
n,Rは定数ですから
ΔPin*V+Pin*ΔV=nRΔT=(2/3)Cv*ΔT
となります。
W=-Pex*ΔV=CvΔT
と比較すると次の点が異なります。
圧力が気体の圧力Pinか外部の圧力Pexであるか。
内部圧力の変化分ΔPinの項の有無。

この二つの違いがありますので、別にこの二つの式の値が違っても矛盾はありません。

お礼

回答ありがとうございます。