閉形式 (closed form)

質問

x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
y=Cx(t)
という式があり,

A=| -1/(P*Q) 1/(P*Q) |
| 1/(P*R) -1/(P*R)-1/(S*R) |

B=| 1/Q |
| 0 |

C=| 0 1/S |
P,Q,R,Sは定数．

で表せるときに,

x(0)=0,u(t)=1,t≧0

の場合のy(t)のclosed formを求めるという問題が解けません．

固有値も求められないし,x(t),y(t)を求める公式に入れてもうまくできません．

解ける方がいましたらよろしくお願いします．

回答No.1

arrysthmia

一見ややこしそうにも見えますが、
x = (x1, x2) で成分表示してしまえば、

x1' = -x1/PQ +x2/PQ +u/Q
x2' = x1/PR -(1/PR +1/SR)x2
y = x2/S

というだけのことですから、

x1' = α x1 + β y + v
y' = γ x1 + δ y
ただし、
α,β,γ,δ は定数
　α = -1/PQ,
　β = S/PQ,
　γ = 1/PRS,
　δ = -(S+P)/PRS
v は既知関数
　v = u/Q

と書けます。
単なる、定係数１階線型微分方程式です。
解き方は、教科書に書いてありますね？

２元連立ですから、固有方程式は２次方程式で、
解公式を使えば強引に解くことができます。
計算間違いが心配なら、係数行列
α　β
γ　δ
から 1/PQRS を括り出してから始めるとよい。
-RS　　RS^2
Q　　-Q(S+P)
の固有値を求めることになり、
λ^2 + (PQ+QS+RS)λ + PQRS = 0
を解くことになる。 解いてください。