【数学の得意な方…！】

質問

２つの放物線ｙ=x^2…(1)とy=x^2+p^2…(2)がある。ただし、ｐは正の定数とする。
(2)の接線と(1)と交わる点をQ、Rとし、Q、Rにおける(1)の接線の交点をTとするとき、

(1)(2)上の接点Pのｘ座標をx=aとする。
Q、Rの座標をa、ｐで表せ。
ただし、Qのx座標がRのｘ座標より小さいものとする。

(2)△QRTの面積Sは一定であることを示せ。

なんだかさっぱりです…。

今日中に解ける方、いらっしゃいませんか(><)

解説付きでお願いしたいです！

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

設問1
点Pの座標は(a,a^2+p^2)
点Pにおける接線の傾きは2a
(2)の点Pにおける接線の式は、y-a^2-p^2=2a(x-a)より、
y=2ax-a^2+p^2 …… (3)

(3)と(1)との交点のx座標は、
x^2=2ax-a^2+p^2 の方程式を解いて得られる。
x^2-2ax+a^2-p^2=0
x=a±√(a^2-a^2+p^2)
=a±√(p^2)
p>0の条件より、√(p^2)=p
x=a±p
また、点Qのx座標が点Rのx座標より小さいので、
点Qのx座標=a-p,点Rのx座標=a+p
∴点Q(a-p,(a-p)^2),点R(a+p,(a+p)^2)

設問2
点Qにおける(1)の接線の傾き=2(a-p)
(1)の点Qにおける接線の式は、y-(a-p)^2=2(a-p){x-(a-p)}より、
y=2(a-p)x-(a-p)^2 …… (4)

点Rにおける(1)の接線の傾き=2(a+p)
(1)の点Rにおける接線の式は、y-(a+p)^2=2(a+p){x-(a+p)}より、
y=2(a+p)x-(a+p)^2 …… (5)

直線(4)(5)の交点Tのx座標は、2(a-p)x-(a-p)^2=2(a+p)x-(a+p)^2とおいて得られる。
{2(a+p)-2(a-p)}x=(a+p)^2-(a-p)^2
4px=4ap
p>0より、両辺を4pで割って差し支えない。
x=a
これを(4)に代入して、
2(a-p)a-(a-p)^2=2a^2-2ap-a^2+2ap-p^2=a^2-p^2
念のために(5)にも代入してみる。
2(a+p)a-(a+p)^2=2a^2+2ap-a^2-2ap-p^2=a^2-p^2
両者は等しいので、点Tの座標は(a,a^2-p^2)となった。

点Q(a-p,(a-p)^2),点R(a+p,(a+p)^2),点T(a,a^2-p^2)の三点からなる
△QRTの面積を求める。
点Tが原点に来るよう、△QRTを平行移動して、△Q'R'T'を考える。このとき、
点Q'(-p,-2ap+2p^2),点R'(p,2ap+2p^2),点T'(0,0)
△QRTの面積=△Q'R'T'の面積
=|(-p)(2ap+2p^2)-p(-2ap+2p^2)|/2
=|-2ap^2-2p^3+2ap^2-2p^3|/2
=|-4p^3|/2
p>0の条件より、|-4p^3|=4p^3
よって、△QRTの面積=2p^3
これは、pの値だけに依存するため、放物線(2)が一意に定まっていれば一定である。

回答No.4

ferien

２つの放物線ｙ=x^2…(1)とy=x^2+p^2…(2)がある。ただし、ｐは正の定数とする。
(2)の接線と(1)と交わる点をQ、Rとし、Q、Rにおける(1)の接線の交点をTとするとき、

＞(1)(2)上の接点Pのｘ座標をx=aとする。
Q、Rの座標をa、ｐで表せ。
＞ただし、Qのx座標がRのｘ座標より小さいものとする。
接点Ｐ（ａ，ａ^2＋ｐ^2）における（２）の接線は、傾きｙ'＝２ｘより、２ａだから、
ｙ－（ａ^2＋ｐ^2）＝２ａ（ｘ－ａ）より、ｙ＝２ａｘ＋ｐ^2－ａ^2
（１）との交点を求める
ｘ^2＝２ａｘ＋ｐ^2－ａ^2より、
ｘ^2－２ａｘ＋（ａ＋ｐ）（ａ－ｐ）＝０
｛ｘ－（ａ＋ｐ）｝｛ｘ－（ａ－ｐ）｝＝０
よって、ｘ＝（ａ＋ｐ），ｘ＝（ａ－ｐ）
それぞれ、（１）に代入すると、ｙ＝（ａ＋ｐ）^2，ｙ＝（ａ－ｐ）^2
よって、Ｑ（ａ－ｐ、（ａ－ｐ）^2）Ｒ（ａ＋ｐ，（ａ＋ｐ）^2）

＞(2)△QRTの面積Sは一定であることを示せ。
Ｑ，Ｒにおける（１）の接線の交点Ｔを求める。
Ｑにおける接線
ｙ'＝２ｘより、傾き２（ａ－ｐ）
ｙ－（ａ－ｐ）^2＝２（ａ－ｐ）｛ｘ－（ａ－ｐ）｝より、
ｙ＝２（ａ－ｐ）ｘ－（ａ－ｐ）^2
同様に、Ｒにおける接線
ｙ＝２（ａ＋ｐ）ｘ－（ａ＋ｐ）^2
２（ａ＋ｐ）ｘ－（ａ＋ｐ）^2＝２（ａ－ｐ）ｘ－（ａ－ｐ）^2より、
４ｐｘ＝４ａｐより、ｐ＞０だから、ｘ＝ａ
どちらかの接線の式に代入して、ｙ＝ａ^2－ｐ^2
よって、Ｔ（ａ、ａ^2－ｐ^2）

ＰとＴのｘ座標は同じだから、ＰＴはｘ軸に垂直。よって、
△ＱＲＴ＝△ＱＰＴ＋△ＲＰＴで求められる。
共通の底辺ＰＴ＝Ｐのｙ座標－Ｔのｙ座標
＝（ａ^2＋ｐ^2）－（ａ^2－ｐ^2）
＝２ｐ^2
△ＱＰＴの高さ＝Ｐのｘ座標－Ｑのｘ座標＝ａ－（ａ－ｐ）＝ｐ
△ＲＰＴの高さ＝Ｒのｘ座標－Ｐのｘ座標＝（ａ＋ｐ）－ａ＝ｐ
△ＱＲＴ＝(1/2)×２ｐ^2×ｐ＋(1/2)×２ｐ^2×ｐ
　　　　＝２ｐ^3
ｐは正の定数であるから、△QRTの面積Sは一定である。

回答No.2

h_m_kiohsi

１番
Pにおける(2)の接線は
y=2a(x-a)+a^2+p^2
y=2ax-a^2+p^2
Q,Rは(1)上の点なので
y=x^2に代入
x^2=2ax-a^2+p^2
だからx=a±√(a^2-a^2+p^2)
=a±p(なぜならばp>0)
よってQの座標(a-p,(a-p)^2)、Rの座標(a+p,(a+p)^2)

２番
Qにおける接線は
y=2(a-p){x-(a-p)}+(a-p)^2
y=2(a-p)x-(a-p)^2・・・(3)
Rにおける接線は
y=2(a+p){x-(a+p)}+(a+p)^2
y=2(a+p)x-(a+p)^2・・・(4)

(3)(4)より、Tはこれら2式が成立する点なので
{2(a-p)-2(a+p)}x=(a-p)^2-(a+p)^2
x=a
この時y=a^2-p^2

QTベクトル=(p,2ap-2p^2)
QRベクトル=(2p,4ap)
なので、三角形QRTの面積Sは
S=1/2|p*4ap-2p*(2ap-2p^2)|
=2p^2
となり一定となる

回答No.1

alwen25

数学１などでは、接線は２次方程式の重解で求めますが
微分積分の計算が出来れば、微分でやったほうが早いです。