微分方程式

質問

微分方程式を２問ほど解けません
お願いします

１問目
（x+y）y'+x-y=0
y'=((y/x)-1)/(1+(y/x))
y/xをｔとおくと
ｙ’＝t+xt'
以上より
(t-1)/(1+t)=t+xt'
(t+1)dt/(t^2+1)=-dx/x・・(1)
左辺＝－logx+logC
まではわかるのですが(1)の右辺が解けません

２問目
y'+2xy-x-x^3=0
y'+2xy=x^3+x
両辺にexp(x^2)をかけて
exp(x^2)y=∫（x^3+x）exp(x^3)dx
ここまではできたのですが右辺の積分ができません

どちらか片方でも良いので教えてもらえると助かります

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

途中まで計算しているので、丸投げでもないようですが…

１問目
普通に部分分数分解すれば、
(t+1)/(t^2+1) = (1/2){ (1+i)/(t+i) + (1-i)/(t-i) }
となって、(1)の左辺の積分は、
∫{ (t+1)/(t^2+1) }dt = (1/2){ (1+i) log(t+i) + (1-i) log(t-i) }
です。

複素係数が嫌いなら、
(t+1)/(t^2+1) = (1/2)(2t+0)/(t^2+1) + 1/(t^2+1)
と変形すればよいのですが、この式の右辺を積分するためには、
∫dt/(t^2+1) の公式を覚えていないとなりません。

２問目
∫(x^3+x) exp(x^2) dx の間違いですね。
x^2 = t と置換してみましょう。

お礼

どうもありがとうございます