微分

質問

Ｙ=logXのグラフをＣとする。原点からの距離が最少になるＣ上のｘ座標は、e^-1/2　と e^-1/3 の間にあることを示せ。ただし、eは、自然対数の底で、e＝2.718とする。

この問題が分かりません。最初に接点のｘ座標をｔと置いて接線は出せました。そのあとのやり方をよろしくお願いします。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

接線っていりますか？

私ならＣ上の点を（ｔ，ｌｏｇｔ）とか置いて、原点との距離の２乗（距離より簡単）は　ｆ（ｔ）＝ｔ^2＋（ｌｏｇｔ）^2だから、ここから　ｆ’（ｔ）を求め、ｆ’（e^-1/2）とｆ’（e^-1/3）が異符号であることを示します。中間値の定理で、e^-1/2　と e^-1/3 の間にｆ’（α）＝０となるαが存在することを言い、増減表を書いて終わり。

ｆ’（e^-1/2）の符号を調べるところをちょっと示すと、（計算違いでなければ）２/√２．７１８－√２．７１８という式が出てきます。各項を２乗すると、４／２．７１８－２．７１８＜０
よって　４／２．７１８＜２．７１８　となり、２/√２．７１８＜√２．７１８

つまり　ｆ’（e^-1/2）＝２/√２．７１８－√２．７１８＜０　
ｆ’（e^-1/3）も同様。

回答No.3

arrysthmia

原点と、Ｃ上の点 Ｐ(t, log t) を結ぶ線分が、
ＰにおけるＣの接線と直交する　…と考えても、
ＯＰが最小になる条件を得ることはできます。

しかし、|ＯＰ|^2 を t の式で書き下して、
増減表の問題にしてしまったほうが簡明です。

「e^-1/2　と e^-1/3 の間にある」は、
中間値定理に持ち込めば良いでしょう。

回答No.1

enma309

接線というとなんの接線ですか？
　それから、なぜ、その接線を求めたのでしょう？