極値

質問

関数f ( x ) = xlog x - ax^2 -x + 1　について、次の問いに答えよ。
f ( x ) が極値をもつような a の取り得る値の範囲を求めよ。

解答

「 f ( x )が極値を持つ　」　「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」
「x ＞ 0 において　y = log x と　y = 2axのグラフの上下が変化する」

y = logx 上の点（ t , log t ) における接線は・・・・・★
y = 1 / t ( x - t ) + log t
　= 1 / t x - 1 + log t
これが( 0 , 0 ) を通るとすると
0 = - 1 + log t
log e t = 1 ( log のeが低でtが真数です )
∴ t = e
よって　y = logx　の接線で原点を通るものは y = (1 / e )x
したがってグラフより
2a ＜　1 / e
∴ a = 1 / 2e

★以降がよくわかりません。
なぜ、接線が出てきて、原点を通るものなのか、eはなぜでてきたのか。
わかりやすく、教えてくださいお願いします。

回答No.2

snow16 · ベストアンサー

解答２行目の「x ＞ 0 において　y = log x と　y = 2axのグラフの上下が変化する」という表現がわかりにくくて、ここは「x ＞ 0 において　y = log x と　y = 2axのグラフが２点で交わる」とすれば分かりやすくなるのではないでしょうか。

y = 2axは原点を通る直線ですから、y = log x と　y = 2axのグラフが２点で交わるためには、原点を通りy = log xに接する直線の傾きよりも、y = 2axの傾きが小さい必要が有ります。このため、接線を求めているのです。

数学でlogの底を省略している場合は、底はeです。
y=log x ならば、x=e^yなのはご存じですね。
log t=1 を解けば、すなわちt=eです。

お礼

遅くなって申し訳ありません。
eはそういうことだったんですね、回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#47894

参考までに、接線を使わない方法も示しておきます。

f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つというのは、

f ' ( x )が増加して、x軸を横切る、または、f ' ( x )が減少して、x軸を横切る、のいずれかであればよいので、
f ' ( x )の増減表を書いてみます。

f '' ( x )　＝1/x - 2a　より、y = f ' ( x ) は、1/2a で極大となります。（表は自分で作ってみてください）
また、lim[x→0](f ' ( x ))=-∞
　　　lim[x→∞](f ' ( x ))=-∞（これは、たぶんlim[x→∞](x/e^x)=0 からいえるでしょう。）
ですので、log(1/2a)-1>0　なら、かならず「f ' ( x )がx軸を横切る」、すなわち「f ( x )が極値を持つ」ことがわかります。

あとは、log(1/2a)-1>0　　を解くだけです。（a>0を忘れずに）

a<=0 のときも同様に、解けます。（単調増加になると思います）
（このときは、lim[x→∞](f ' ( x ))=∞　に注意）

お礼

遅くなってすいません、回答ありがとうございました。
別解も参考になりました。

回答No.3

debut

＞「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」
ということなので、logx-2ax　がｘ＞０において、常に
logx-2ax＞0　とか　logx-2ax＜0　とかになってはいけない
ということですよね。（実際はlogxのグラフとaxのグラフを
考えてみれば、常にlogx-2ax>0　はありませんが・・）

そこで、ｘ＞０において常にlogx-2ax＜0となるのはどんな
場合かとみれば、原点を通る直線y=2axが曲線y=logxの上側
にある場合です。（logx＜2ax→logx-2ax＜0となる）
そしてそのとき、直線y=2axの傾き2aは、曲線y=logxと接する
ときの傾きより大きくなっています。

したがって、逆に、ｘ＞０において常にlogx-2ax＜0とならない
つまり、f'(x)の符号の変わり目ができるのは　「y=2axの傾き
2aが曲線y=logxと接するときの傾きより小さくなって、直線と
曲線が交わる場合である」とわかります。
このとき、あるｘの値を境にしてlogx＞2axとなったりlogx＜2ax
となったり、つまり、f '(x)＞０となったりf '(x)＜０となったり
と符号の変わり目があるということになります。

だから、この条件を満たす境界となるy=logxの接線を求める
わけです。しかも、直線y=2axは原点を通るので、接線のうち
原点を通る接線を求めるわけです。

ｅは、原点を通るｙ＝logｘの接線を計算してみたら、logt=1
が得られたので、これを解いてｔ＝ｅ。結局は接点が（ｅ,１)
だったということです。
（最後は回答になってないような・・ｅが出てきた理由は★の
計算にもあるように、logeｘが関係したからとしか・・）

お礼

遅くなってすいません、回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.1

abyss-sym

y=2ax は(0,0)を通ります。
グラフを書いて考えるのが1番わかりやすいと思います。

『x＞0 において y=logx と y=2ax のグラフの上下が変化する』
ということは、y=2ax の傾きが、y=logx の接線で原点を通るものの傾きより大きければいい。
もし、傾きが1/eより小さければ、常にy=logx が上になってしまい、上下が変化しません。
ちょうど1/eであれば、１点で接するだけで、上下が変化することはないです。
いわば、交わるためのギリギリのラインです。
なので、1/eより傾きが大きければ（接線の傾きより大きければ）上下が変化すると考えられます。

わかりにくくてすいません。参考にしてみてください。

お礼

遅くなってすいません、回答ありがとうございました。
参考になりました。