数学３の問題について

質問

y=x(logx)^2 を微分せよ(対数は自然対数)
という問題についてですが、

logx=tと置いて、
y=xt^2
y’=(dy/dt)*(dt/dx)=(t^2+2xt)*t’
={(logx)^2+2xlogx}*(1/x)
={(logx)^2}/x + 2logx

と解答しましたが、間違いでした。

模範解答では(logx)^2 + 2logxが正解となっていますが、なぜ(logx)^2の項には1/xが掛からないのかよく分かりません。

教えて頂ければ有難いです。
宜しくお願いします。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

y=xt^2
y’=(dy/dt)*(dt/dx)=(t^2+2xt)*t’
とやってはいけません。なぜならlogx=tより、ｘは定数ではないからです。

やるなら、logx=tよりx=e^tなので、
y'=(dy/dt)*(dt/dx)
　=(e^t*t^2)'*(1/x)
={(e^t)'*(t^2)+e^t*(t^2)'}*(1/x)
=e^t*(t^2+2t)*1/x
=x*{(logx)^2+2logx}*1/x
=(logx)^2 + 2logx
です。

お礼

よく分かりました。
回答有難うございました。

回答No.3

fukuda-h

>logx=tと置いて、
>y=xt^2
ここがいけませんね。
単純に積の微分の公式をあてはめて微分です
y=x(logx)^2
y'=(x)'(logx)^2+x{(logx)^2 }'
=(logx)^2 +x{2(logx)（1/ｘ）}
でしょうね。xと1/xが出てきて約分されてしまいますね。

お礼

模範解答もその解き方でした。
今後はその解き方で行きたいと思います。
有難うございました。

回答No.2

c_850871

まず，logx=tとおいたのならば，
すべてtに変えないといけません．

>y'=(dy/dt)*(dt/dx)=(t^2+2xt)*t’

ここが間違っています．

正しくは(tは使いませんが)
y'=(logx)^2*d/dx(x)+x*d/dx((logx)^2)
=(logx)^2+x*(2*logx*(1/x))
=(logx)^2 + 2logx
となります．

お礼

分かりました。
回答頂き有難うございました。