平均値の定理に関する問題

質問

f(x)=x^3として
f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h　(ただし、0<θ<1)　※f’(x)=(d/dx)f(x)
とする。このときlim[h→o]θを求めよ。

上の問題で、θを求めたところ、次のようになりました。

θ={-3x+(9x^2+9xh+3h^2)^(1/2)}/(3h)
これでlim[h→o]θを計算すると、0/0の不定型になってしまいます。
どうしたらいいのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

分子分母を各々 h で割った後、
1/h を √ の中へ持ち込みます。
√ 内を 1/h~2 倍することになりますね。
そのように変形した式を眺めると、
極限の値が見えてくるでしょう。
素朴に計算できる問題で、
飛び道具は使わないほうがよい。

お礼

ご回答ありがとうございます！
x/h=tとおき、x<0とx>0の両方の場合でlim[h→o]θ=1/2となり、解答と一致しました！

回答No.1

noname#196225

こちらも行き当たり計算ですが、こんなのでどうでしょう。
{f(x+h)-f(x)}/h^2-f'(x)/h=θ{f'(x+θh)-f'(x)}/hθ
左辺のfにx^3代入で整理した後、両辺をh→0に持っていくと右はf''(x)に変化。

お礼

ご回答ありがとうございます！